数学应用与生活小论文7篇

数学应用与生活小论文7篇数学应用与生活小论文　浅谈数学在生活中的应用　摘要：　数学与社会的方方面面都有十分密切的联系,为了激发培养学生学习数学的兴趣和应用数学知识的能力,通过几个与下面是小编为大家整理的数学应用与生活小论文7篇,供大家参考。

篇一：数学应用与生活小论文

数学在生活中的应用

　摘要：

　数学与社会的方方面面都有十分密切的联系, 为了 激发培养学生学习数学的兴趣和应用数学知识的能力, 通过几个与日 常生活相关的数学应用问题， 阐明数学应用的重要性和广泛性。

　关键词：

　数学 生活应用 重要性

　数学应用， 简而言之就是用数学的意识， 即用数学的眼光、 从数学的角度观察事物， 阐释现象、 分析问题、 解决问题。

　从数学应用的角度处理数学内容， 加强数学的应用实践环节， 让数学尽可能的贴近生活能有效地激发学生的学趣,

　就会收到良好的教学效果。

　数学家希尔伯特说: “数学是我们时代有势力的科学, 它不声不响地扩大它所征服的领域.

　” 随着科学技术的迅猛发展, 现代数学以技术化的方式迅速辐射到统计、 税收、 股票、 金融、 保险、 贸易和农业生产等领域, 成为人们在日 常生活中关注的一个焦点.

　笔者结合教学实践, 收集了 生活中的几个数学问题, 对于激发学生学习数学的兴趣大有裨益.

　一、 数学在经济领域中的应用 1.

　求盈亏转折点或供需平衡点———相交直线的应用 问题:

　某厂日 产手表的总成本y (元)

　与手表日 产量x (块)

　之间有成本函数y = 10x + 4000,

　而手表的出厂价格为每块20 (元)

　且可全部售出。

　试问该厂至少应日 产手表多少块才不亏本(即求盈亏转折点)

　? 已知解这类问题用的是相交直线的交点问题,

　即求出由两条直钱的 方程组成的方程组的解,

　此解即为所求的盈亏转折点或供需平衡点。(这里略解)

　2.

　计算利息、 工资总额———数列的应用 问题: 已知一笔资金的本金P = 10000元, 单利率i = 0.

　24% , 期数n = 10, 求本利和F1 0 解:

　根据单利公式Fn = P (1 + ni)

　,

　得F10 = 10000 (1 + 10 × 0.

　24% )

　= 10240元。

　从以上的例子可以看出:

　题中所用的是求数列中的某一项。

　如果不 了 解数列的这些知识,

　就很难准确地解决这个问题。

　3.

　求最小成本、 最大利润问题———函数的应用 问题：

　仪器厂生产的某种精密仪器,

　每年产量为Q 台,

　产理与销量一致, 总成本函数为C (Q)

　= 40 + 0.

　1Q2 ,

　该产品需求函数为Q = 39.

　6 - P,

　价格、 成本、 收益、 利润等的单位为“万元” 。求:

　(1)

　产量为多少时,

　平均成本最低? 并求此时的平均成本。

　(2)

　产量为多少时,

　总利润最大? 最大利润是多少? 此类问题是导数的应用,

　即求出平均成本函数和利润函数的导数,

　并求出它们的导数为零时的产量Q的值,

　就是所求的产量,

　再将此产量代入平均成本函数和总利润函数便可得到最低平均成本和最大利润。

　(解略)

　经济问题对于每个人都不陌生， 教师只要在对这一类问题做以简单的联系， 这样既加深理解又可以学以致用， 使学生的数学学习兴趣近一步提高。

　二、 数学在自 然规律中的应用 问题：已知 a ,

　b ,

　c 是非负整数, 有 28a + 30b + 31c = 365 , 求 a + b + c 的值.

　分析 这道题初看上去, 给人的感觉是无从下手, 一个方程三个未知数, 一般来说是很难确定其解的, 观察题中系数是: 28 , 30 , 31 ,

　364 , 联想生活常识, 它们恰巧分别是: 一年中 2 月 份的天数, 小月 的天数、 大月 的天数以及全年的总天数, 根据条件 28 a + 30 b + 31 c = 365可知, 要求 a ,

　b ,

　c , 只要分别算出 1 年中 2 月 份和小月 、 大月 的数量即可, 显然, 1 年中 2 月 份的数量是 1 , 小月 的数量是 4(4 月 、 6 月 、 9 月 、11 月 )

　, 大月 的数量是 7(1 月 、 3 月 、 5 月 、 7 月 、 8 月 、 10 月 、 12 月 )

　,即有 a = 1 ,

　b = 4 ,

　c = 7 , 所以 a + b + c = 1 + 4 + 7 = 12.

　三、 数学在生产和生活中的应用 1、 方程在生活中的应用 问题：一个人喝少量酒后, 血液中酒精含量将迅速上升到 0.

　3 mgPmL , 在停止喝酒后, 血液中的酒精含量以每小时 50 %的速度减少. 假若法例规定, 驾驶员 血液中的酒精含量不得超过 0.

　08

　mgPmL , 问喝酒后多少小时才能驾驶? 解：

　设喝酒 x 小时后才能驾驶,

　x 小时后, 血液中酒精含量达得方程0.

　3 (1 - 50 %)

　x = 0.

　3 × 0.

　5 x , 0.

　3 × 0.

　5 x = 0.

　08 , 0.

　5 x = 0.

　2667 , xlg0.

　5 = lg0.

　2667 , 所以 x = 1.

　91 (h)

　.

　2、 三角函数在生产中的应用 问题：

　利用农药喷雾器杀虫时， 如果想使喷洒面积大一些， 应用什么方法， 请用数学知识解释。

　解：

　喷雾器喷出的水雾形成一个圆锥体， 设边缘相对两根母线夹角为θ ， 喷头离水稻叶面高为 h， 则2tanhr，2tanhr ，喷洒面积2tan222hrS， 由 此可见， θ一定时， h 越大， S 也越大， 也就是喷嘴举高一些， 喷洒的面积也越大。

　只 有让学生感受到数学在自 己身边,

　才能明白为什么要学数学,

　并且能够树立学习数学的信心。

　知识来源于生活,

　还要用到生活中去,让它为我们的生活服务,

　解决生活中的实际问题。

　四、 不等式在决策中的应用 问题：有一批影碟机原销售价为每台800 元, 在甲、 乙两家家电商场均有销售, 甲商场用如下方法促销, 买一台单价为780 元, 买两台每台单价都为760 元, 以此类推, 每多买一台则为所买各台单价均再减少20 元, 但每台最低价不能低于440 元.

　乙商场一律都按原价的75 % 销售.

　某单位需购买一批影碟机, 问去哪家商场购买花费较少? 解：

　设该单位需购买x 台影碟机, 则在甲商场的花费S甲= x[780 - 20 ( x - 1)

　]

　; 在乙商场的花费S乙= x · 800 · 75 %,

　S甲- S乙= x[780 - 20( x - 1)

　]

　- x · 800 · 75 % = 200 x - 20 x2 = 20 x (10 - x)

　, 所以, 当x < 10 时,

　S甲> S乙; 当x = 10 时,

　S甲= S乙; 当x > 10 时, S甲< S乙.

　五、 在其它方面的应用 h r

　1.

　在科学研究中的应用 我们知道数学是以真实的外界现象和过程、 以抽象的数量关系形式反映各观规律的。

　现在,

　许多重大科学技术问题不利用数学方法便不能解决。

　在经济研究中,

　数量关系起着相当重要的作用,

　不能不是利用数学的重要领域。

　2.

　在其它学科上的应用 数学在经济中的应用也是极其广泛的,

　虽然不可能在较少的教学时数的情况下,

　让学生去讨论经济中复杂的数学方法,

　但仍可选择适合学生程度的经济方面的实例,

　结合专业进行教学,

　把数学和专业有机地结升起来,

　让学生在学习数学知识的同时,

　看到它在专业中的实用价值,

　对学生应用能力培养是大有益处的。

　由以上几个方面可以看出,

　数学来源于实际， 应用于实际， 数学与人们的生活质量和工作效率息息相关， 也为其它学科的建立和发展提供了 条件和基础、 方法和思想。

　随着经济社会自 然的协调发展,

　人们更加需要重视数学,

　学习数学,

　依赖数学。

　数学知识应用 的教学尝试,

　使我们领悟到这项工作是长期的,

　经常的,

　不能搞突击。

　平时注意要将较复杂的问题化整为零,

　把生活实践中的数学现象融入数学课堂中， 注重数学模型观的渗透， 强调数学语言的广泛使用、 交流和表达， 并要抓住一切可切入机会,

　把问题渗透到各个环节。另 外我们在平时要注意积累身边的素材,

　多从各类书籍中汲取营养, 为学生在应用中提取和运用理论创造有利条件。

　数学知识的应用在第二课堂还有广阔的空间,

　愿大家都来努力实践吧!

　参考文献：

　1、 中华人民共和国教育部制订， 《全日 制义务教育数学课程标准（ 实验稿）》 , 北京：

　北京师范大出版社, 2001.

　2、 教育部基础教育司， 数学课程标准研制组编， 《全日 制义务教育数学课程标准解读（ 实验稿）》 , 北京：

　北京师范大出版社, 2002 3、 陕西师大杂志社出版发行， 《中学数学教学参考》

　1999 年第 9 期

篇二：数学应用与生活小论文

11年第 18 期 总第 128 期 经济研究导刊 E C0 N 0 MI C R E SE A R C H G U IDE

　N o． 18 ， 2 0 1

　1

　S eri al N o． 12 8 数 学 建 模 在 生 活 中 的 应 用 李 苑 辉 ( 亚航空旅游职业学院 数学教研室 ， 海南 i 亚 572000) 摘要 ：

　数 学建模 就是 学习如何把物理的复 杂的世界用适 当的数学语 言描述 出来 ， 进而用数 学的手段 对模型加 以

　分析 ， 然后再 用所得结论 回归现 实， 指导实践 。

　数 学建模是联 系实际与理论的桥 梁， 是应 用数学知识解决 实际问题的必 经环节。将初 等数 学知识与生活中的实际问题术 j结合， 介绍了几种常见类型的数学建模方法。

　关键词 ：

　数学建模 ； 最优化 问题 ； 金融与经济 ； 估算与测量 中图分类号 ：

　G640 文献标志码 ：

　A 文章编号 ：

　1673— 291X (2011)18— 0321— 02 数学来源于生活 ． ． 又服务于生活。生 活中的数学建模涉 及到的问题 比较贴近我们的实际 ， 具有一定 的实践性和趣味 性， 所需知识以初等数学为主， 较容易人手与普及。因此， 生 活中的数学建模应成：

　勾培养 大众数学应用意识 、 提高学生数 学思维水平 、 分析和解决实际问题 的能力的重要途径 本文拟将初等数学知识与生活中的实际问题相结合， 对 几种常见类型的建模技巧进行简要 的分析 、 归纳 。

　一、基本概念 数学模型 ：

　把某种事物 系统 的主要 特征 、 主要关系抽象 出来 ， 用数学语言概括地或近似的表述出来 的一种数学结构 。

　它是对客观事物 的空间形式和数量关系的一个近似的反 映。

　数学建模：

　建立数学模型解决实际问题过程的简称。

　二、 建模步骤 这里所说的建模步骤只是大体上的规范， 实际操作中应 针对具体问题作具体分析， 灵活运用。

　数学建模的一般步骤如下 ：

　1． 准备模型。熟悉实际问题 ， 了解 与问题有关 的背景知 识 ， 明确建模的 目的。

　2． 建立模型。分析处理已有 的数据 、 资料 ， 用精确的数学 语言找出必要的假设 ； 利用适 当的数学工具描述有关变量和 元素的关系， 并建立相应的数学模型(如方程 、 不等式、 表格、

　图形、 函数、 逻辑运算式、 数值计算式等)。在建模时， 尽量采 用简单 的数学工具 ， 以使模型得到更广泛的应用与推广。

　3． 求解模型。

　利用数学工具 ， 对模型进行求解， 包括解方程 、

　图解、 逻辑推理、 定理证明、 性质讨论等。

　对模型求解的结果进行 分析， 根据实际问题的性质分析各变量之 间的依赖关系 ， 有时 需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、 控制等。

　4． 检验模型。

　把模型分析的结果返回到实际应用中， 用实 际现象 、 数据 等检验模 型的合理性 和实用性 ， 即验证模型 的 正确性 。通常， 一个成功的模型不仅能够解释 已知现象 ， 而且 还能预言一些未知现象 。

　如果检验结果与实际不符或部分不符 ， 而且求解过程没 有错误 ， 那么问题一般 出在模 型假设上 ， 此时应该修改或补 充假设 。如果检验结果与实际相符 ， 并满足问题所要求 的精 度 ， 则认为模型可用 ， 便可进行模型应用与推广。

　三、 分类讨论 我们将按照初等数学知识在不同生活领域 的应用 ， 也即 生活中的数学建模的不 同题型作分类讨论 。

　本文节选三类问 题进行分析 ：

　最优化问题； 金融与经济； 估算与测量。

　( 一 )最优化问题 最优化应用题包括工 农业生产 、 日常生活 、 试验 、 销售 、

　投资、 比赛等方面， 分最值问题、 方案优化的选择 、 试验方案 的制定等类型。对于最值问题， 一般建立函数模型， 利用函数 的(最值 )知识转化为求函数的最值 ； 而对于方案 的优化选择 问题是将几种方案进行 比较 ， 选择最佳 的方案。

　例 l (客房的定价 问题 )：

　一个星级旅馆有 150 个客房 ， 每 间客房定价相等 ， 最高定价为 198 元 ， 最低定价为 88 元。经 过一段 时间的经营实践 ， 旅馆经理得 到了一些数据 ：

　每间客 房定价为 198元时， 住房率为 55％； 每间客房定价为 168 元 时， 住房率为 65％； 每间客房定价为 l38元时， 住房率为75％ 每 间客房定价为 108 元时 ， 住房率为 85％． 欲使旅馆每 天收 入最高， 每间客房应如何定价 ? 分析与思考 ：

　据经理提供 的数据 ， 客房定价每下降 30 元 ， 人 住率 即提 高 l0 个百分点 。相当于平均每下降 1元 ， 入住率提高 1／ 3个 百分点。囚此， 可假设随着房价的下降， 住房率呈线性增长。

　这样 ， 我们可通过建立 函数模型来求解本题 。设 Y 表示 旅馆一天的总收入， 与最高价 198 元相比每问客房降低的房 收稿 日期 ：

　2011- 0,4— 16 作者简介：

　李苑辉( 1982一 )， 男， 广东梅州人， 助教． 从事运筹学研究。

　价为x 元， 可建立数学模型：

　1 、

　) y=1 5 0×(1 98 一 x)×(0． 5 5+—解得， 当x=16． 5 时。

　Y取最大值 16 471． 125元 ， 即最大收 入对应 的住房定价为 181． 5元 。如果 为了便 于管理 ， 定价为 180 元 ／ ( 间 ·天 ) 也是可 以的， 因为此时总 收入 y=16 470 元 ，

　与理论上的最高收入之差仅为 1． 125 元。

　本题建模的关键在于 ：

　根据房价的降幅与住房率的升幅 关系， 假设两者存在着线性关系。

　( 二 )金融与经济 现代经济生活中 ， 人与金融之 间的关系 日益密切。金融 类的题 目注重了针对性 、 典型性 、 新颖性 和全面性 ， 因而对数 学素质方面的要求就更高。

　涉及金融与经济的建模题常见的有投资问题、 住房贷款 问题、 分期付款问题、 证券问题等。

　一般的做法是通过数学建 模将此类题型转化为初等数学中的常用知识点来解决， 如数 列问题 、 幂函数问题 、 不等式 问题等。

　例 2( 购房贷款) ：

　小李年初向银行贷款 20 万元用于购 房。

　已知购房贷款的年利率优惠为 10％， 按复利计算。

　若这笔 贷款要求分 10次等额归还， 每年一次， 并从借款后次年年初 开始归还， 问每年应还多少元(精确到 1元) ? 分析与思考 ：

　已知贷款数额、 贷款利率、 归还年限， 要求出每年的归还 额。

　本题即可化为求每年的归还额与贷款数额、 贷款利率 、 归 还年限的关系。

　不妨先把这个问题作一般化处理。

　设某人向银行贷款元 M0， 年利率为 ， 按复利计算( 即本年的利息记人次年 的本金 生息)， 并从借款后次年年初开始每次 k 元等额归还， 第 1 3次 全部还清。那么， 一年后欠款数 MF ( 1+ 两年后欠款数 M2 =( 1+ 0【 )M 一 k =(1+0【 ) Mo - k[(1+

　)Mo — k )+11

　n年后 己

　激 M =(1+ )M 一 k：

　(1+d )M。

　一_ k _l 由 M I 1 = 0可 得 k =

　等

　这就是每年归还额与贷款数额、 贷款利率、 归还年限之 间的关系式 。

　对于上述购房问题。

　将 O f ． =0． 1， Mo =200 000， n=10代入得 一 L

　l+

　_ l¨ 一 l k= ~ 32 549_6( 元 ) 故每年应还 32 550 元 。

　本题建模的关键在于：将求每年的归还额与贷款数额、

　贷款利率、 归还年限的关系化为数列计算问题。

　(三)估算与测量 估计与测量是数学中最古老的问题。

　估算与测量类的建 模题 ， 其背景包括人们 日常生活和生产、 科学技术等方面的 些测量 、 估算 、 计算。

　对于估算与测量的题 目， 一般要先理解好题意 ， 正确建 模， 然后通过周密的运算， 找出结论。

　这类题目常常可转化为 函数 、 不等式、 数列、 二项式定理展开式、 三角函数等知识进 行处理。

　例 3(挑选水果问题 )：

　上街买水果， 人们总喜欢挑大的，

　这是否合理呢 ? 分析与思考 ：

　从什么角度来分析此问题 呢 ? 要判断合理与否 ， 首先要 明确判断的标准。

　一般来说， 买水果主要供食用。

　故下面从可 食率这个角度加 以分析。

　水果种类繁多， 形状各异， 但总的是近似球形居多。

　故可 假设水果为球形， 半径为 R ， 建立一个球的模型来求解此题。

　挑选水果的原则是可食率较大。

　由于同种水果的果肉部 分的密度分布均匀， 则可食率可以用可食部分与整个水果的 体积之比来表示。分以下几种不同类型的水果分别剖析：

　1． 果皮较厚且核较小的水果， 如西瓜、 橘子等。同类水果 的皮厚度差异不大， 假设是均匀的， 其厚为 d， 易得 一}订(R— d)3，

　，

　可 食 率=

　j_ ：

　(1 - d) ¨ 2_果皮较厚且有核(或籽集)较大的水果 ， 如南方的白梨 瓜等。

　此类水果计算可食率时， 不但要去皮且要去核。

　设核半 径为 kR (k 为常数 ， 0<k<1)， 易得 4 3

　4 3

　可 食 率 =

　— ～ —

　— 5l— 一 =(

　R

　3’。

　上两式中， d 为常数 ， 当R 越大即水果越大时， 可食率越 大， 越合算。

　3． 有些水果尽管皮很薄， 但考虑卫生与外界污染 ， 必 须去皮食用 ， 如葡萄等。此类水果与( 1)类似， 可知也是越 大越合算。

　本题建模 的关 键在 于 ：

　从 可食率 人手 ， 利 用水 果的近似 球形， 建立一个球的模型 ， 将求可食率的大小转化为求关于 水果半径 R 的单调性。

　生活 中的数学建模是在实际 问题与初 等数学 知识 之间 架起一座桥梁 ， 使初等数学知识在不同领域的应用得以生动 地展示， 再现数学知识的产生、 形成和应用的过程。

　我们的数学建模应该密切关注生活， 将知识综合拓广，

　使之立意高 ， 情境新， 充满时代气息。这对培养思维的灵活 性， 敏捷性， 深刻性， 广阔性， 创造性是大有益处的。

　可食率 ：

　：(1 -鲁 卜 k、 ，

　卜，

　参考文献 ：

　[1】

　卜月华． 中学数学建模教与学【 M】

　． 江苏：

　东南大学出版社， 2002．

　【 2】马春华， 郑小玲． 高中数学应 用题题型突破例释【 M]． 北京：

　龙 门书局， 2002．

　【 3] 李云鼎， 许少华． 点击解析几何【 J 1 ． 中学数学杂志(高中)， 2006， (1)：

　45— 48．

　【 4] 上海市中学生数学应用知识竞赛委员会． 中学应用数学竞赛题萃 [5】金明烈． 中学数学应用[M 】

　． 乌鲁木齐：

　新疆大学出 版社， 2000．

　】

　． 上海：

　华东师范大学出版社， 2002．

　[责任编辑魏 杰】

　·-——322 ． -— —

篇三：数学应用与生活小论文

设计(论文)

　课 题 名 称

　 数学期望在实际生活中的应用

　 学 生 姓 名

　 刘飞飞

　学

　 号

　1040802021

　 系、年级专业

　 理学系 10 级信息与计算科学

　指 导 教 师

　 黄卫平

　职

　 称

　教授

　2014

　年

　04

　月

　15

　日

　摘 要

　数学期望是一门重要的数学学科，它是随机变量总体取值的平均水平，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。在现代快速发展的社会中，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域扮演越来越重要的角色，应用越来越广泛。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用，包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果，更清楚的认识到数学期望的广泛应用性及其重要性。通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。

　所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。

　关键词：

　数学期望；随机变量；应用；预测；决策

　邵阳学院毕业设计（论文）

　Abstract

　 Is an important mathematical ecpectation of mathematics, which is the overall average value of the random variable, which is one of the important characteristics of the digital random variables, is one of the basic characteristics of a random variable. In the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important branch of probability theory play an increasingly important role in many areas, more and more widely. Through several examples to explain the mathematical expectation in real life applications, including some examples of economic decision-making, lottery, job decisions, health care, sports and other aspects, so that we can use the scientific method to quantify the evaluation of balance the expectation maximization and minimization of the risk of conflict, we expect to achieve the best results, a clearer understanding of the mathematical expectation of a wide range of applications and its importance. By exploring the mathematical expectation in real life applications, in order to play to let everyone know the rich heritage of knowledge and human practice closely linked, personal experience to &quot;Math really useful&quot;.

　The so-called mathematical expectation is actually seeking to find a random variable with probability-weighted average of the number of rights. We mean this concept is most commonly used in the practical application of an indicator , it is used in predicting a scientific nature. Key words: Mathematical expectation; Rondom variables; Application; Prediction; Decision making

　邵阳学院毕业设计（论文）

　目

　录

　中文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅰ

　英文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅱ 前言 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.数学期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.1 数学期望的由来 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.2 数学期望的定义 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.3 随机变量的函数的数学期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

　 1.4 条件数学期望 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.数学期望在实际生活中的应用 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

　 2.1 决策问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

　 2.1.1 生产批量问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

　2.1.2 货物出口问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5

　2.1.3 求职决策问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6

　2.1.4 投资风险问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7

　2.1.5 方案决策问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8

　2.1.6 活动选择问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10

　2.2 疾病普查问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12

　 2.3 赌局问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13

　 2.4 保险赔偿金问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 14

　邵阳学院毕业设计（论文）

　 2.5 体育比赛问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15

　 2.6 旅游收益问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 17

　 2.7 警方破案问题 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 18 3.参考文献 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 20 致谢 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 21

　邵阳学院毕业设计（论文）

　前 言

　概率论起源于意大利文艺复兴时期，在当时的意大利就已经建立了预防意外的商业保险组织。为使商业保险机构获得最大利润，就必须研究个别意外事件发生的可能性，即研究事件发生的概率，或称机遇律（率），或然率，根据个别意外事件发生的概率去计算保险费与赔偿费的多少。不过当时的研究只求实用，尚未形成严格的数学理论。后来，在著名科学家 Galileo, Pascal, Fermat, Laplace, Bernoulli, Helley 等人的努力下，才基本建立起一个较为严格、完整的概率论体系。现在，概率论正以其独特作用为社会做出贡献，它在自然科学与社会科学的许多领域中得到广泛的应用；它在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、医学、地质学、空间技术、气象与灾害预报以及许多新兴学科与边缘学科都作出了非常重要的贡献,也日益深入到我们工作、学习、生活中。

　数学期望是概率论中的小部分知识，数学期望反映的是随机变量总体取值的平均水平，是随机变量的重要数字特征之一。随着经济的迅速发展，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用。生活中许多问题具有随机性，研究其概率分布并不容易，可研究其数学期望来进行解决，所以数学期望在实际生活中有着巨大的作用，正因为数学期望在实际生活中起着巨大作用，才引起了我的兴趣研究数学期望及其应用，以至于更深入的了解数学期望及其广泛应用性和重要性。本课题的目的就是通过实际生活中具体的例子，反映数学期望在实际生活中广泛的应用，并提供了重要的理论依据，体现数学期望的广泛应用性及其重要性。

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　 01.数学期望

　1.1 数学期望的由来

　 早在 17 世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，无平局。比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得 100 法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这 100 法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为43212121= × +

　或者分析乙获胜的概率为412121= × . 因此由此引出了甲的期望所得值为 7543100 = × 法郎，乙的期望所得值为 25法郎。

　这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

　1．2 数学期望的定义 定义 1

　设离散型随机变量 X 的分布率为：

　{ }k kp x X P = =

　  , 2 , 1 = k

　 若级数 ∞=1 kk k px 绝对收敛，则称级数 ∞=1 kk k px 的值为离散型随机变量 X 的数学期望，记为 ( ) X Ε ，即 ( )∞== Ε1 kk k px X .[1]

　定义 2

　设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( ) x f ，若积分 ( ) dx x xf+∞∞ − 绝对收敛，则称积分 ( ) dx x xf+∞∞ −的值为随机变量 X 的数学期望，记为 ( ) X Ε ，即 ( ) ( )+∞∞ −= Ε dx x xf X .[1]

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　 11．3 随机变量的函数的数学期望

　 定理

　设 Y 是随机变量 X 的函数：

　( ) X Y g = （ g 是连续函数）。

　 （1）

　X 是离散型随机变量，它的分布率为 { }k kp x X P = =  , 2 , 1 = k ，若( )∞= 1 kk kp x g 绝对收敛，则有 ( ) ( ) [ ] ( )∞== Ε = Ε1 kk kp x g X g Y ;

　 （2）

　X 是连续型随机变量，它的概率密度为 ( ) x f ，若 ( ) ( ) dx x f x+∞∞ −g绝对收敛，则有 ( ) ( ) [ ] ( ) ( )+∞∞ −= Ε = Ε dx x f x g X g Y .[1]

　1．4 条件数学期望

　 定义 1

　设 ( ) Y X, 为二维离散型随机变量，其分布为：

　( ) ( ) , , 3 , 2 , 1 , , ,  = = = = j i p y Y x X Pij j i 若级数 ( )∞= =ji j jx X y Y P y | 绝对收敛，则称其和为 Y 在ix X = 条件下的条件数学期望，记为 ( )ix Y | Ε ，即 ( ) ( )∞= = = Εji j j ix X y Y P y x Y | | . 类似地， X 在jy Y = 条件下的条件数学期望 ( )jy X | Ε 可定义为：( ) ( )∞== = = Ε1| |ij i i jy Y x X P x y X .[2]

　定义 2

　设 ( ) Y X, 为二维连续型随机变量， Y 在 x X = 条件下的条件密度函数为 ( ) x y fX Y||，若积分 ( )+∞∞ −dy x y yfX Y||绝对收敛，则称其值为 Y 在 x X = 条件下的条件数学期望，记为 ( ) x Y | Ε ，即 ( ) ( )+∞∞ −= Ε dy x y yf x YX Y| ||.

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　2类似地， X 在 y Y = 条件下的条件数学期望 ( ) y X | Ε 可定义为：

　( ) ( )+∞∞ −= Ε dx y x xf y XY X| ||.[2]

　2．数学期望在实际生活中的应用 随机变量的分布函数或分布率、概率密度函数都能全面地反映随机变量的特征，但在实际问题中，有时并不需了解随机变量的全面情况，只需知道它的重要特征。[4] 2．1 决策问题 在经营管理决策中，有时按某项指标的大小比较各种备选方案的优劣.如果这些指标受到随机因素的影响，则可按各方案某项指标的数学期望的大小来做出最优决策。[4] 因此,可利用随机变量的数字特征数学期望来求解一些经济决策问题。

　2．1．1 生产批量问题 某企业为了确定今后 5 年内生产某种服装的批量，以便及早做好生产前的各项准备工作。根据以往的销售统计资料及市场调查预测，未来市场销路好、中、差三种状况的概率分别为 0.3，0.5 和 0.2。若按大、中、小三种不同生产批量投资，今后 5 年不同销售状态下的益损值如下表：

　状态 销路好 销路中 销路差 概率 0.3 0.5 0.2 大批量益损值1x

　20 14 -2 中批量益损值2x

　12 17 12 小批量益损值3x

　8 10 10 试作出定量分析，确定今后 5 年最佳生产批量。

　分析：虽然益损值 x 的分布未知，但由于它的数学期望表示平均值，在三种状态的平均值是可求的，故可用它作为评判的标准。

　解：计算三个批量的益损值的数学期望：

　( ) 6 . 12 2 2 . 0 14 5 . 0 20 3 . 01= − × + × + × = Ε x

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　3

　 5 . 14 12 2 . 0 17 5 . 0 12 3 . 02= × + × + × = Ε x

　4 . 9 10 2 . 0 10 5 . 0 8 3 . 03= × + × + × = Ε x

　由上述数据可见，中批量生产的益损均值最大,即中批量生产获益最大。故应选择中批量生产较为合适。

　数学期望在物流管理方面有着许多应用，采购管理、库存管理、生产物流管理等都要计算出获利的数学期望值从而做出决策，上面举出了通过离散型随机变量的数学期望计算损益值数学期望决定生产批量一例，比较三个批量哪个批量使得利益最大，即为最佳批量。

　2．1．2 货物出口问题 国家出口某种商品，假设国外对该商品的年需求量是随机变量 X ，且知[ ] 4000 2000 ~ ， U X 单位：

　t 。若售出 1t 则得外汇 3 万元；若售不出，则 1t 花保养费 1 万元，问每年应准备多少商品，才能使用国家收益的期望值最大？最大期望值为多少？ 分析:由于该商品的年需求量 X 是随机变量，且 [ ] 4000 2000 ~ ， U X ，收益 Y 也是随机变量，它是 X 的函数，称为随机变量的函数。本问题涉及的最佳收益只能是收益的数学期望即平均收益的最大值，此题可通过随机变量函数的数学期望进行求解。

　解：设每年准备商品 a ( ) t ,显然有 4000 2000 ≤ ≤ a ，收益 Y 是 X 的函数( ) x g = y 为 ( )( )&lt; − −≥= =a x a xa ax gx , 3x , 3y当当 即 ( )&lt; −≥= =a a xa ax g yx , 4x , 3当当 又因为随机变量 X 的概率密度为 ( )[ ]∈=，其他， 当04000 2000 ,20001xx f

　所以

　( ) ( ) ( ) ( ) ( )+∞∞ −= Ε = Ε dx x f x g X g Y

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　4( ) ⋅ + − =40002000200013200014aadx a dx a x

　 ( )6 210 4 700010001× + − − = a a

　期望值最大时，有 ( )( ) 0 7000 210001daY d= − − =Εa

　求得 ( ) t a 3500 =

　即当 ( ) t a 3500 = 时，国家收益的期望值最大。

　最大期望值为 ( ) ( ) ( ) 万元 8250 10 4 3500 7000 3500100016 2max= × + × − − = Ε Y

　所以国家收益的最大期望值为 8250 万元。

　 随着经济不断发展，货物的进出口在国家经济中占有举足轻重的作用，无论进口还是出口货物，都是优先考虑国家收益数学期望值来决定进货量和备货量，货物出口问题是通过随机变量的函数的数学期望求解国家收益的最大值，即通过年需求量 X 的收益函数 Y 数学期望值决定备货量。

　 2．1．3 求职决策问题 有三家公司为大学生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为 A,B,C。每家公司都可提供极好、好和一般三种职位。每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位。按规定，双方在面试后要立即作出决...

篇四：数学应用与生活小论文

目

　录 摘要……………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………………1 Key words……………………………………………………………………………1 引言

　…………………………………………………………………………………1 1

　定积分概述……………………………………………………………………2 1.1

　 定积分的定义…………………………………………………………………………2 1.2

　定积分的性质…………………………………………………………………2 1.3

　定理及方法……………………………………………………………………3 2

　 定 积 分 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 2.1

　定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用………………4 2 . 2 定 积 分 在 物 理 中 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … 8 3

　总结………………………………………………………………………… 11 致谢……………………………………………………………………………………11 参考文献………………………………………………………………………………11

　 定积分在生活中的应用 数学与应用数学专业学生

　郑剑锋 指导教师

　徐玉梅 论文摘要 ：

　本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。

　关键词 ：微元法 定积分 数列极限 The Definite Integral in Our Life of Application Student majoring in mathematics and applied mathematics

　Jianfeng Zheng

　Tutor

　 Yumei Xu Abstract ：

　This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key

　words: :

　Micro element method definite integral sequence limit

　 引 言

　本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

　文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

　 一、定积分的概述 1、定积分的定义 设 函 数   f x 在 区 间   , a b 上 有 界 ， 在   , a b 中 任 意 插 入 若 干 个 分 点0 1 1 n na x x x x b      ， 把区间   , a b 分成 n 个小区间：

　 有      0 1 1 2 1, , , , , , ,n nx x x x x x且 各个小区间的长度依次为1 1 0x x x    ，2 2 1x x x    ，…，1 n n nx x x   。在每个小区间 1 , i ix x上任取一点i ，作函数  if  与小区间长度ix  的乘积  i if x   （ 1,2, , i n  ），并作出和  1ni iiS f x  。记  1 2max , , ,nP x x x     ，如果不论对   , a b 怎样分法，也不论在小区间  1 , i ix x上点i 怎样取法，只要当 0 P  时，和 S 总趋于确定的极限 I ，这时我们称这个极限 I 为函数   f x 在区间   , a b 上的定积分（简称积分），记作 baf x dx，即  baf x dx= I =  01limni iPif x ,

　其中   f x 叫做 被积函数，   f x dx 叫做 被积表达式， x 叫做 积分变量， a 叫做 积分下限，b 叫做 积分上限，  , a b 叫做 积分区间。

　2 2 ．定积分的性质.

　设函数   f x 和   g x 在   , a b 上都可积， k 是常数，则   kf x 和   f x +   g x 都可积，并且 性质 1  bakf x dx=  bak f x dx; 性质 2 2    baf x g x dx     =  baf x dx+  bag x dx    baf x g x dx     =  baf x dx-  bag x dx. 性质 3

　定积分对于积分区间的可加性 设   f x 在区间上可积，且 a ， b 和 c 都是区间内的点，则不论 a ， b 和 c 的相对位臵如何，都有  caf x dx=  baf x dx+  cbf x dx。

　性质

　4

　 如果在区间   , a b 上   f x  1，则 1badx=badx= b a  。

　性质

　5 5

　如果在区间   , a b 上   f x  0 ,则  baf x dx 0   a b  。

　性质

　6 6

　如果在 ] , [ b a 上, M x f m   ) ( ,则    baa b M dx x f a b m ) ( ) ( ) (

　性质

　7 7（积分中值定堙）如果 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续，则在 ] , [ b a 上至少存一点  使得  baa b f dx x f ) )( ( ) ( 

　3．定理及方法 1 1 、定理

　定理 1

　微积分基本定理

　如果函数   f x 在区间   , a b 上连续,则积分上限函数   x  =  xaf t dt在   , a b 上可导,并且它的导数是   " x  = xad f t dtdx=   f x   a x b   .

　定理

　2 2

　原函数存在定理 如果函数   f x 在区间   , a b 上连续,则函数   x  =  xaf t dt就是   f x 在   , a b 上的一个原函数.

　定理 3 3

　如果函数   F x 是连续函数   f x 在区间   , a b 上的一个原函数, 则

　  baf x d x=     F b F a 

　称上面的公式为 牛顿- - 莱布尼茨公式 . 2 2 、方法

　定积分的换元法

　假设函数   f x 在区间   , a b 上连续,函数  x t  满足条件 (1)   a    ,   b    ; (2)   t  在   ,   (或   ,   )上具有连续导数,且其值域 R     , a b ,则有  baf x dx=     " f t t dt     , 上面的公式叫做定积分的换元公式. 定积分的分部积分法

　根据不定积分的分部积分法,有

　    "bau x v x d x

　    "bau x v x dx   

　        "bau x v x u x v x dx    

　   bau x v x        "bav x u x d x 简写为

　 "bau v d x= bauv "bavu dx 或 baudv= bauv vdu. 二 、定积分的应用

　一、计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 1、利用定积分计算平面图形的面积 （1）设连续函数 ) (x f 和 ) (x g 满足条件 ) (x g  ) (x f ，  x ] , [ b a ．求曲线  y ) (x f ， y ) (x g 及直线 b x a x   , 所围成的平面图形的面积 S ．（如图 1）

　解法步骤：

　第一步：在区间 ] , [ b a 上任取一小区间 ] , [ dx x x  ，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以 )] ( ) ( [ x g x f  为高，以 dx 为底的矩形面积近似，于是 dx x g x f dS )] ( ) ( [   ． 第二步：在区间 ] , [ b a 上将 dS 无限求和，得到 badx x g x f S )] ( ) ( [ . （2）上面所诉方法是以 x 为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将 y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线 ) (y x   、 ) (y x   其中 ) ( ) ( y y    与直线 c y  、 d y  所围成的平面图形（图 2）的面积为：

　 dcdy y y S )] ( ) ( [  

　例 例 1 1

　求由曲线 x y sin  ， x y cos  及两直线 0  x ，   x 所围成的图形的面积 A ． 解 （1）作出图形，如图所示．易知，在 ] , 0 [  上，曲线 x y sin  与 x y cos  的交点为 )22,4(  ；

　（2）取 x 为积分变量，积分区间为 ] , 0 [  ．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；

　（3）区间 ]4, 0 [上这一部分的面积1A 和区间 ] ,4[ 上这一部分的面积2A 分别为  401) sin (cosdx x x A ，  42) cos (sin dx x x A ， 所以，所求图形的面积为 2 1A A A   =  40) sin (cosdx x x +  4) cos (sin dx x x

　     2 2 sin cos cos sin440     x x x x ．

　例 例 2 求椭圆2 22 21x ya b  的面积. 解

　椭圆关于 x 轴, y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的 4 倍,即 104 4aS S ydx  

　利用椭圆的参数方程 cossinx a ty b t  应用定积分的换元法, sin dx a tdt   ,且当 0 x  时, ,2t x a  时, 0 t  ,于是 02220204 sin ( cos )4 sin1 cos24214 sin2 22 40S b t a t dtab tdttab dttab t ab      

　 2．求旋转体体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的

　体积，我们可以将此木块作分割 b x x x a Tn      1 0: 划分成许多基本的小块，每 一 块 的 厚 度 为 ) , , 2 , 1 ( n i x i    ， 假 设 每 一 个 基 本 的 小 块 横 切 面 积 为) , , 2 , 1 )( ( n i x Ai  ， ) (x A 为   b a, 上连续函数，则此小块的体积大约是i ix x A  ) ( ，将所有的小块加起来，令 0  T ，我们可以得到其体积：

　   banii iTdx x A x x A V ) ( ) ( lim10 。

　例 例 2 2

　求由曲线 4  xy , 直线 1  x , 4  x , 0  y 绕 x 轴旋转一周而形成的立体体积. 解

　先画图形，因为图形绕 x 轴旋转，所以取 x 为积分变量， x 的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[ x , x + x d ]的小窄条，绕 x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为 x d ，底面积为2πy 的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为

　V d =2πy x d = π2)4(xx d ,

　 于是，体积

　 V = π412 d)4( xx =16 π 412d1xx   16 π411x=12 π . 3．求曲线的弧长 （1）设曲线 ) (x f y  在   b a, 上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取 x 为积分变量，在   b a, 上任取小区间   x x x d ,  ，切线上相应小区间的小段 MT 的长度近似代替一段小弧 MN 的长度，即 ds l MN  .得弧长微元为：

　dx y y x MT s2 2 2) ( 1 ) d ( ) d ( d       ,再对其积分， 则曲线的弧长为：

　dx x f dx y ds sbababa        2 2)] ( [ 1 ) ( 1

　（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线) () (t yt x上   , t    一段的弧长.这时弧长微元为：

　   2 22 2 dx dyds dx dy dtdt dt            即    2 2ds t t dt      

　则曲线的弧长为：

　dt t t ds s      2 2)] ( [ )] ( [

　 例 例 3 3

　(1)求曲线 2332x y  上从 0 到 3 一段弧的长度 解 由公式 s = x ybad 12 

　 （ b a  ）知,弧长为 s = x y d 1302  = x x30d 1 =323023) 1 ( x  =31632 =314.

　(2)求摆线 ( sin ),(1 cos )x a t ty a t    在  2 0   t 上的一段弧的长度（ 0  a ）． 解

　取 t 为积分变量，积分区间为 ] 2 , 0 [  ．由摆线的参数方程，得 ) cos 1 ( t a x    ， t a y sin   ， t a t a y x2 2 2 2 2 2sin ) cos 1 (      

　|2sin | 2 ) cos 1 ( 2ta t a    ． 于是，由公式（16-13），在  2 0   t 上的一段弧的长度为2 20 02 |sin | 2 sin2 2t ts a dt a dt   

　 204 cos 82ta a     

　二、定积分在物理中的应用

　1、求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 ( )bas v t dt  

　 例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这 1 min 行驶的路程．

　解：由速度一时间曲线可知：

　3 ,0 10,( ) 30,10 401.5 90,40 60.t tv t tt t       

　因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

　10 40 600 10 403 [ 30 ( 1.5 90) s tdt dt t dt        2 10 40 2 600 10 403 3| 30 | ( 90 )| 1350( )2 4t t t t m      

　 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .

　2、 定积分在变力作功的应用

　一物体在恒力 F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移（单位：m)，则力 F 所作的功为 W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到 x=b (a&lt;b) ，那么如何计算变力 F(x）所作的功 W 呢？ 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 ( )baW F x dx  

　 例 2 设 40N 的力使一弹簧从原长 10cm 拉长到 15cm．现要把弹簧由 15cm 拉长到20cm，需作多少功？

　解 以弹簧所在直线为 x 轴，原点 O 为弹簧不受力时一端的位臵．根据胡克定律，当把弹簧拉长 x m 时，所需的力为 ( ) F x kx  ，

　（1）

　其中 k 为弹性系数，是常数． 根据题意，当把弹簧由原长 10cm 拉长到 15cm 时，拉伸了 0.05m，把0.05 x  (0.05) 40 F  代入式（1），得

　 40 0.05k  ， 800  k ，

　所以

　 ( ) 800 F x x  ． 因此当把弹簧由 15cm 拉长到 20cm，即 x 从 05 . 0  x 变到 1 . 0  x 时，所需作的功为

　0.1 0.120.05 0.05 800400 3 W xdx x       ． 3、定积分在在电学中的应用 例 3、有一均匀带电圆盘，其半径为 R ，电荷面密度为  （如下图），求圆盘轴线 上与盘心 O 相距为 x 的任一给定点 P 处的场强？ 分析：因为圆盘带电均匀分布，所以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的，要知道各细圆环在点 P 处的场强，我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元，求出每一电荷元在点 P 的场强，那么由场强叠加原理，最后即可求出圆盘在点 P 处的总场强。

　解：从圆盘上任取一半径为 r ，宽度为 dr 的细圆环，因为圆盘的面密度dSdq  ，则细圆环所带的电荷量为 rdr dq   2  .那么我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为 q )在P 点激发的场强。如下图所示，在圆环上任取长度元 dl ，电荷线密度rqdldq2  ，则dl 上所带的电荷量为：

　dlrqdq 2

　...

篇五：数学应用与生活小论文

[ 生活与数学, , -- 数学小论文] ] 数学生活小论文三年级

　?

　篇一 ?

　在生活中，各式各样的事情都能从一个普普通通毫不起眼的小事变成一个个既生动又引人深思的数学问题。我们常做的应用题，就是在生活中取材，再稍加改编而成的题目。这不，我又在做数学题时发 ?

　现了一道趣题：

　在一个游泳池内，有一艘小船，上面有许多石头，现在把石头全部从船里扔到水中，请问，游泳池内的水位会上升、下降，还是不变？ ?

　咋一看题目，我便疑惑不解：这道题似乎和数学沾不上一点关系啊！这下该怎么做呢？我不气馁，努力思考，不一会儿便理出了头绪：当石头扔到水中后，船的重量减轻，便会上浮，水位也会下降，但 ?

　石头在水中占了一部分空间，水位又要随之上升。因为这都是同一堆石头，所以上升与下降的幅度也应该一致，水位当然保持不变啦！可爸爸看了，却说是下降，我很不服气，决定与他打个赌。

　可是，用什么来证明我的猜想正确与否呢？这时，抽象的想象就没有真实的操作好了。于是，我便在爸爸的协助下作了一个实验：由于我能力有限，没法从外面搬来一个游泳池，也没法去造一艘小船， ?

　只好把题中的条件按比例缩小了。游泳池变成塑料盆，小船变成肥皂盒，石头则变成了五块橡皮。我先在塑料盆里倒进一些水，再把装着五块橡皮的肥皂盒放入水中，然后用直尺量出水位是 20 厘米。最

　?

　关键的时刻到了，我把五块橡皮小心翼翼地从肥皂盒中取出，再全部投入水中，最后用直尺量出水位——天哪！竟然只有 18 厘米， ?

　是下降了！我错了！

　虽然事实证明，水位是下降了，但我还是丈二和 ?

　尚——摸不着头脑：这水位怎么会下降呢？ ?

　我苦思冥想了好长时间，草稿纸上全是一幅幅演示图，可我还是一筹莫展。我急得团团转，可越急脑子越乱，反而想不出了。就当我即将放弃的时候，我突然想起了数学家陈景润孜孜不倦，夜以继日算 ?

　题目的故事，血液中仿佛充斥着一股勇往直前的力量，任何困难都挡不住我。果然，不出半小时，这道题我终于想通了：当石头在船上时，上升水的重量＝石头的重量，而石头的密度比水大，因此同等重 ?

　量的水和石头，水的体积大于石头的体积。当石头被投进水中后，水便下降了石头的重量，而石头在水中要占空间，因此，石头扔进水中后，水上升的体积＝石头的体积。而同等体积的水和石头，水的重 ?

　量小于石头的重量。综合以上几点，得到：石头扔下去后，水位下降的重量大于石头的重量，水位上升的重量小于石头的重量，也就是下降的水的重量大于上升的水的重量，于是下降的水的体积便大于 ?

　上升的水的体积，水位当然下降了。就这样，一道难题便迎刃而解了。

　其实，仔细观察，这道题与数学密不可分，其中的体积、重量、密度，都属于数学的范畴之内。你瞧，一个生活中的小事也能变成一

　道数学题，数学是无处不在的，让我们热爱数学，学好数学吧！

　篇二 ?

　数学，是我们的主课，生活中数学无处不在，我们离不开数学，我们的生活更离不开数学！

　它让我们的生活更加有趣。有一次，我刚写完数学作业，妈妈就端来一盘儿水蜜桃，我刚要吃，妈妈问我：“子涵，你们是不是学了长方体、正方体的体积啊？”“嗯，对呀！”我点了点头。“那你算 ?

　一算这个水蜜桃的体积，好吗？”我满口答应。妈妈刚走，我就“开工”了，又是量宽，又是量高……吭哧吭哧地忙活了半天，量不出结果。后来一观察水蜜桃，啊？原来是不规则物体。唉，害得我忙 ?

　活了半天！我苦思冥想，可还是没有想出来。妈妈笑盈盈地走过来，递给我一杯水。我看着杯子想到，玻璃杯？水？哦，我想到了！我一拍桌子，把妈妈吓了一跳。于是我拿来草稿纸，给妈妈边画边讲 ?

　，“首先要有一个正方体或长方体的玻璃杯，然后算出底面积，倒入水，量出水的高度，再放入水蜜桃，用现在水的高度减去原来水的高度就等于升高的水的高度，最后用底面积乘升高的水的高度就等 ?

　于水蜜桃的体积！”妈妈直夸我聪明！

　它还可以训练我们的思维。一次，妈妈刚干完手里的活儿，我就问妈妈这道题怎么做？这是一道思维题：哥哥和弟弟三年后的年龄之和是 27 岁，弟弟的年龄是哥哥的一半，请问今年哥哥的年龄是多少？ ?

　我算出的答案哥哥的年龄是 18 岁，原以为会对，但作业本上却吃了个红叉叉！妈妈首先让我讲自己的思路，“哥哥和弟弟之间的年

　龄之和是 27 岁，弟弟年龄又是哥哥的一半，那么 3 个弟弟的年龄之和就是 ?

　27 岁，弟弟今年就是 27÷3＝9（岁），哥哥就是 18 岁啊！”“那题目上说的是 3 年之后的年龄之和啊”，妈妈说。我接着说自己的理由：“他们的年龄之和是不变的啊！”“两个人的年龄差距不变，可是 ?

　年龄之和是不是会变呀，就像你和妈妈，三年后你大了三岁，妈妈是不是也大了三岁呀，我们两个加起来是不是大了？”妈妈耐心的讲到。“对呀，三年后，哥哥和弟弟的年龄之和增加了 6 岁，今年他们 ?

　的年龄之和就是 27——6＝21 岁，那么哥哥今年就是 14 岁呀！”我终于算出了正确答案。

　它在我们的生活无处不在。有一次，我和妈妈去游泳馆游泳，妈妈看到游泳池内贴的瓷片后便想考我：“子涵，你能不能算出水池内贴瓷片的面积？”“这还不简单！用（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 不 ?

　就行了”，我不假思索地说。妈妈哈哈大笑：“游泳池上面也贴瓷片？”我连忙改正，“是用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”。妈妈才会心一笑。

　你瞧，数学与我们的生活息息相关，数学无处不在！让我们热爱数学，学好数学吧！

　篇三 ?

　提到“数学”这两个字，每个人都会想到乏味死板的数学书，没有人会把它和活灵活现的“生活”联系在一起，其实，我原来也是这样想的。

　?

　可是当我翻开《奥德赛数学大冒险》这本书时，我竟改变了这种想法。韩国作家安素钉和姜尚均挥动起他们那附有魔力的笔，洋洋洒洒地创作出了这样四本极具吸引力的数学小说。书中，小主人公奥德 ?

　赛带领我们迈进了数学王国的大门。奥德赛虽被无知团的士兵追杀，但他却用自己超人的数学头脑化险为夷。那些在数学课上已经学习过的数学常识，在这本书里却变得那样亲切，让人一看就会忘不掉 ?

　。在这些惊心动魄的故事中，那些数学小知识又悄悄走进了我们的脑海里，这些小知识又是从什么地方来的呢？那全是奥德赛在他的生活中自己探索出来的呀！

　奥德赛虽然没有人教，但他却能从生活中汲取数学的甘露，千万不要说他是有神一样智慧的孩子，这种说法是消极的。其实每个人的生活中都是有数学存在的，就要看他究竟是怎样利用这些宝贵的数学 ?

　资源的。如果无视数学的存在，那他学到的东西终究会比别人少得多的多。

　在这里，我就不得不提起我读到的另外一个小故事了。

　从前，在一个村庄里，有一个特别有钱的人和一个特别没钱的人，这两个人的孩子一个叫汤姆，一个叫杰克。汤姆的爸爸非常有钱，在他三岁时就为他请来了家教教他数学，如果不是在学习时间，汤姆 ?

　连翻一下数学课本都懒得翻。杰克家很穷，他没有钱读书，可是杰克热爱数学，他每天都去请教那些年长的老人一些关于数学的问题。杰克还不满足，他每天都把请教到的数学常识温习一遍又一遍，并

　?

　且从生活中寻找数学，自己出题自己做，有时他也会用学过的数学知识为村民解除困难。就这样过了一年又一年，汤姆每次遇见杰克，都发现自己会的东西杰克都会，自己不知道的东西，杰克也会。一 ?

　天，国王的大臣按国王的意思在这个村庄里寻找最聪明的孩子继承王位，富有的汤姆和热爱数学的杰克都去参加了这次考试。考试成绩出来了，杰克理所当然的继承了国王的王位。

　杰克的成功不是偶然的，而是必然。他热爱数学，没人教，他也能从生活中发现数学。话再说回来，我们大多数同学，对数学虽谈不上热爱，但也不讨厌。如果我们再加把劲，开动自己的脑筋，试着从 ?

　生活中寻找数学，那我们一定能比杰克更聪明。如果我们既在课堂上吸收数学的营养，又在生活中温习数学知识并且探索数学新的奥秘，那么，每回数学考试中独占鳌头的不是自己是谁呀？ ?

　其实，奥德赛和杰克一样都是普通人，就因为他们会在生活中运用数学知识而变得不普通，如果我们把学过的数学知识再运用到生活中，那更是一举两得呀。数学本来就是从生活中发现的，再运用回生 ?

　活中，你不觉得这很有趣吗？ ?

　无论走到那里，都要记住，数学是和生活联系在一起的，它们密不可分，就是再伟大的数学家，也无法从数学课本上发现新的知识，如果我们做到了在生活中寻找数学，再难的问题也能让我们解决。

篇六：数学应用与生活小论文

重积分是数学的重要工具， 具有非常广泛的应用.本文主要通过实例来说明二重积分在数学、 物理以及实际生活中的应用.其中在数学中的应用又分为以下五个方面的应用：（1）二重积分在数学、 计算和证明中的应用；（2）

　用二重积分计算概率；（3）

　用二重积分来证明积分不等式；（4）

　二重积分在几何上的应用；（5）

　二重积分在微分方程中的应用.除此之外，二重积分在自然科学、 工程技术以至经济人文等领域都有广泛的应用. 二重积分， 应用， 数学， 实际生活， 物理 1

　例1、

　设 f(x,y)于闭区域10 , 10yx上可积[1]， 试证明  1 nnvdxdyyxfnlimenvnfn1),(21010)],(11 [

　``````````

　（1）

　证明：

　因为（1）

　式右端=1nnvnnvnfne12),(1lim （1）

　式左端=1nnvnnvnfne12)],(11ln[lim 要证明（1）， 只要证明 0} ),(1)],(11ln[{limn111122nnvnnvnvnfnnvnfn 或0| )n,(1)],(11ln[|limn1122nnvvnfnnvnfn 已知不等式 2|)1ln(|xxx

　（当21||x）

　```````（2）

　并注意到 f在[0， 1； 0， 1]上可积， 从而有界 Myxf| ),(|sup n 充分大时， 恒有21| )n,(1|22nMvnfn,于是可用式（2）

　得 111010221221220),(01),(1| )n,(1)],(11ln[|dxdyyxfnnvnfnvnfnnvnfnnnvnnv（当n时）

　例2、

　计算j1nnninlimjin212]2[2， 这里[x]为不超过 x 的最大整数. 分析：

　把矩形] 2 , 0 [] 2 , 0 [在 x 轴上的边分为 n 等份， 在 y 轴上的边分为 2n等份， 过每个分点作坐标轴的垂线， 则矩形被分为 2n2个小矩形.每个小矩形的面积是22222nnn.每个小矩形右上角顶点的坐标是),2(njni (i=1,2,```n;j=1,2,```2n).由重积分的定义知， nnjnijin2112]2[2恰是函数f(x,y)=[x+y]在矩形域] 2 , 0 [] 2 , 0 [ 上的一个积分和[2]. 解：j1nnninlimdxdydxdydxdydxdyjin21212343210]2[2 积分区域4321,,,（如图）， 其面积分别为21,23,23,21. 故 I=6213223230.

　 2

　二重积分最常见的应用之一就是确定两个变量落在规定区域内的概率.这里首先给这样应用的联合频率函数 f(x,y)下定义[3]. 连续变量 x 和 y 的联合频率函数是具有如下性质的函数：

　1.0),(yxf 2． 3． 这些性质类似于单变量频率函数的性质， 就是说：

　1),(dxdyyxf 2211),(),(2211bababyabxaPdxdyyxf （1）

　概率总是非负的；

　（2）

　一个必然事件的概率为 1；

　（3）

　x 值在区间(a1,b1)中与 y 值在区间(a2,b2)中的概率用其相应的积分来给y 2 0 1 1 x 2 1324

　出. 从几何上说来， f(x,y)是三维空间中的曲面， 在该曲面之下而位于由a1&lt;x&lt;b1和 a2&lt;y&lt;b2所确定的矩形之上的体积就是 x 和 y 将取这矩形中的对应点的值之概率.如图,如果 f(x,y)为连续函数， 则),(),(22112211byabxaPbyabxaP.

　例 1、 某公司在对某种型号日光灯管成本的研究中已经求出订货量 x 和订货总成本 y 的频率函数， 它近似为5 . 31),(yxf ,61x,xyx1 . 11 . 09 . 01 . 0 式中 x 是以千支为单位的日光灯管， y 以千美元为单位.如果该公司给灯管定价为每支 1.05 美元， 则该公司无盈亏和有利润的订货各占多少比例？

　解：

　 6071. 05 . 32125)]1 . 0075. 0 () 6 . 07 . 2[(5 . 31| )x1 . 0075. 0 (5 . 31) 1 . 015. 0 (5 . 31)9 . 01 . 005. 1 (5 . 315 . 31)05. 19 . 01 . 0 , 61 (61261616105. 19 . 01 . 0 xdxxdxxxdydxxyxxPxx 故该公司无盈亏和有利润的订货比例均为 0.6071. 注意到

　60.1 1.1660.1 1.10.1 0.910.1 0.91162611111|[0.1 1.1(0.10.9 )]3.53.53.51110.2(0.1) |(3.60.1)13.53.53.5xxxxdxdyydxxx dxxdxx 即在区域 D1：61x,xyx1 . 11 . 09 . 01 . 0内该公司销售日光灯管必定能够获利. 又易知设5 . 31),(yxf， 且满足0),(yxf， 1),(dxdyyxf， 因此概率密度函数 f(x,y) 一般是在 xy 平面上一个面积为 3.5 的区域 D 上等于1/3.5， 在其余点上等于零.

　2

　有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题， 会给解题带来方便， 以下通过几个例子说明如何利用二重积分证明积分不等式[4]. 例 1、 设函数 f(x)与 g(x)在[a,b]上连续且非负， 证明 babadxxgxfdxxgxfab2))()(()()()( 证明：

　记],[],[babaD， 由重积分的性质等， 有 DDDDbabadxxgxfdxxgxfabdxdyygyfxgxfdxdyxgxfdxdyygyfygyfxgxfxgxfdxdyygyfxgxf]))()(()()()[(2])()()()()()([ 2)]()()()()()(2)()([] )()()()([022 所以原不等式成立.

　例 2、 设函数 f(x)为[0,1]上的单调增加的连续函数， 证明 102103102103)()()()(dxxfdxxfdxxxfdxxxf 证明：

　记] 1 , 0 [] 1 , 0 [D， 令102103102103)()()()(dxxxfdxxfdxxfdxxxfI 则有

　DDDdxdyyxyfxfydxdyyfxfdxdyyfxxfI))(()()()()()(232323 利用对称性， 又有DdxdyxyxfyfI))(()(23 两式相加， 并由题设，0)]()()[(],,[,yfxfyxbayx于是 0)]()()[()()(222DdxdyyfxfyfxfyxI 即 102103102103)()()()(dxxfdxxfdxxxfdxxxf 例 2、 证明不等式babadxxfabdxxf)()())((22 证明：

　因为 2bababababadxdyyfxfdyyfdxxfdxxf)()()()())((2 而)]()([21)()(2yfxfyfxf 故  2babababababadxxfabdyyfdxxfabdxdyyfxfdxxf)()(])()([)]()([21))((222222

　本例将证明定积分的问题转化为重积分来证明， 这在定积分的证明和计算中经常用到. 4

　二重积分的应用是非常广泛的， 其中最直接的应用是计算体积和空间曲面的面积[5]. 空间区域 的体积 V 对于以下两种特殊情况， 可采用更方便的算式. （1）

　若 可表为:),(),(21yxZZyxZ， 则 DdxdyyxZyxZV)],(),([12 ,

　 D 是 在 xy 平面上的投影. （2）

　若 的界面是曲线 y=f(z))(bza绕 z 轴旋转而成， 则badzzfV2)]([ 例1、

　求由 z=xy,z=x+y,x+y=1,x=0,y=0 围成的区域的体积.

　 解：

　空间区域如图所示， 它在 Oxy 面上的投影 D 由 x+y=1， x=0,y=0 所围成.用平行于 y 轴的直线去截 D， 则对每一] 1 , 0 [x， 有xy10.因此可 表示为y 10 ,x10xy

　0

　图 2 故体积 V 为247| ])1 (813121[])1 (21)1 (x[| ]21[)(])[(10432103101021010 DxxxdxxxdxyxxydyxyyxdxdxdyxyyxVxx例 2、 求22yxz介于yyx22与yyx222之间的面积 S.

　解：

　(423)4222222yyxydxdySdxdydS 5

　二重积分可用于计算物体的质量、 重心、 转动惯量、 引力和能量.在此设物体的质量为 M， 重心为),,(zyx， 转动惯量为 I[5]. 例1、

　边长为 a 的正方形薄板上各点的密度  与该点到一固定顶点的距离成正比， 中心处密度为 0， 求质量 M.

　解：

　设正方形是ayax0 ,0， 求得22021yxa 于是 x x+y=1 y x z 0 图 1

　)]12ln(2[231sec322222204032040sec02000220 adadrrdadxdyyxaMaaa 例2、

　求均质曲面) 0(4322zyxz之重心),,(zyx. 解：

　用柱面坐标， 曲面可写 1404741)43(7667410,41),23(43220230220230222rdrrrdZrdrrddSyxrdrdrdSrrZ 例3、

　求均匀圆盘 D:222Ryx对于其切线的转动惯量， 设密度  为常数. 解：

　取切线为 y=R， 任给面积微元 d， 它对切线 y=R 的转动惯量为dy yRdI2)([6]

　因此 D 对 y=R 的转动惯量为 44403202020222200220245]41[]sin2 [)sinsin2()sin()(RRRdrrdrdrRrdrrRrRdrdrrRddyRIRRRRD 设一物体 的密度为  ， 它对质量为 m 的质点 M 的引力为 F.任取与 M相距 r 的体积元 dv， 则 dv 对 M 的引力为2rmdvk， k 是引力常数， 将2rmdvk依坐标轴分解之后分别积分即得 F 的各分量. 6 [7] x 0 D y=R R

　例1、

　设函数 f(t)在区间[0,+]上连续， 且满足方程 y22224224)21()(txtdxdyyxfetf， 求 f(t). 分析：

　这是含有未知函数的积分的方程， 称为积分方程.由于在圆域2224tyx上作积分， 且被积函数含有22yx ， 因此可以采用极坐标转化为定积分， 积分上限出现 t， 应用积分变上限函数求导方法， 将方程化为微分方程求解. 解：

　在极坐标下， 积分区域为20 ,t20:rD ytttxrdrrfrdrrfddxdyyxf202020422)2(2)2()21(222 原方程化为ttrdrrfetf204)2(2)(2 等式两端对 t 求导， 得)(88)(24ttftetft 这是 f(t)的一阶线性微分方程， 由积分方程容易得出 f(0)=1, 故求原方程的解转化为求下面初值问题：

　1)0(8)(8)(24ftettftft

　 的解 由线性方程通解公式有 )4 ()8() (tf2484822ctecdteteettdtttdt 由 f(0)=1， 得 c=1 因此

　 ) 14 ()(242tetft 7

　问题 1

　 湖泊体积及平均水深的估算[8]. 椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似.假定湖面的边界为椭圆12222byax， 若湖的最大水深为maxh， 则椭球正弦曲面由下面函数给出：

　)2cos(),(2222maxbyaxhyxf

　其中12222byax.现要求湖水的体积 V 及平均水深h . 解：

　设1:2222byaxD是湖面的椭圆区域， 湖水的总体积 V 为：

　DDdxdybyaxhdxdyyxfV)2cos(| ),(|2222max 被积函数和区域 D 的形状启示我们用变换 sincosbryarx

　,

　 abrJr20 , 10

　故 maxmax10max1010max10max10max2010max4535. 1]21 [4]| )r2cos(21 [4])2sin(|2sin[4] )r2(sin[4)2cos(2)2cos(abhabhabhdrrrrabhrdabhrdrrabhabrdrrhdV 上述公式可通过测量 a,b,maxh来估计湖水的体积（即水量）

　.容易证明椭圆 D 的面积为 ab， 因而平均湖水深度为：

　maxmax463. 04535. 1| )y,(|1hababhdxdyxfabhD 即 463. 0maxhh 实际上， 人们对全世界 107 个湖泊的研究结果表明，maxhh的平均值为 0.467. 问题 2：

　火山喷发后高度的变化[8]. 一火山的形状可以由曲面) 0(422zhezhyx 来表示.在一次喷发后， 有体积为 V的熔岩粘附在山上， 使它具有和原来一样的形状.求火山高度变化的百分比. 解：

　记火山喷发前的体积为 V， 喷发后的体积为 V1.喷发前的高度为 h， 喷

　发后的高度为 h1， 有VVV1， 现要求hhh 1.先计算喷发前的火山体积 DhyxdxdyehV422 由于火山的底部很大， 将它看成无限大， 即 D: r020{ 用极坐标法来计算：

　2244000244008()8[] |]rrnhrrhhVdh erdrhrd eh reedr   223440088( 4 )|32rrhhhedrhheh 于是 313133313311311)32(323232)(32,32VhhVhhVhhhVVVhV 即1)32(13131hhvhhh

　因此如果知道了V和 h， 由上述公式可求得火山喷发后高度变化的百分比. 问题 3：

　怎样计算水桶的最大容水量[9] 某仪器上有一只圆柱形的无盖水桶， 桶高 6cm， 半径为 1cm.在桶壁上钻有两个小孔用于安装支架， 使水桶可以自由倾斜.两个小孔距桶底 2cm， 且两孔连线恰为直径， 水可以从两个小孔向外流出.当水桶以不同角度倾斜放置且没有水漏出时， 这只水桶最多可装多少水？

　解：

　如图建立直角坐标系.设 M(0,1,t)为圆柱母线 CD 上任意一点， 两孔位置分别为 A(1,0,2)， B(-1,0,2). 设当水桶倾斜时， 水平面恰好通过 A,B,M 三点， 此平面的方程为 1022000112xyzt

　整理可得：

　z=(t-2)y+2, 由0z知22ty 水桶容量为圆柱位于水平面下面的体积.故 2222112121221222( )[(2)2][(2)2]2[(2)2] 1yytxyyttV ttydxdydytydxtyy dy 11222222214(1) 1tttyy dyyy dy 于是 ) 62 () 2()]4([32]) 2(41 [32|)1 (3212) 2(2) 2(41)221 ( 4) 2(2) 2(41)22(212323232122122232222221222ttttttydyyytttttttdyyydtdVtt由于 2&lt;t&lt;4 时，64 , 0tdtdV时，0dtdV可知在驻点 t=4 处， V(t)取得极小值，因此最大值只能在 t=2 或 t=6 处取得.计算可知2) 2 (V2hr 34233) 24 () 6 (V21122ydxdyyyx 所以,水桶的最大容水量34233maxV. 8

　x y z 2 M(0,1,t) C(0,1,6) B A D

　二重积分的计算一般较定积分复杂， 课本上通常讲授的方法是化为累次积分（包括使用极坐标等）， 而在近似计算方面， 二重积分目前还很少有定积分那样简明的近似计算公式（如矩形公式， 梯形公式， 辛普森公式等）， 作为探讨， 本文提出以下化二重积分为定积分的一种方法. 设 D 是一个单连通区域， 其边界 L 是逐段光滑曲线，( , )f x y 连续可微，

　L：( ),x t y( ),y txt ，

　当要计算,Df x y dxdy时， 如果不定积分,f x y dx或,f x y dy之一能准确算出， 则可取 ,0,,,P x yQ x yf x y dx 或 ,,,,0P x yf x y dy Q x y  所得到的函数 ( , )P x y 、( , )Q x y 在 D 上有一阶连续偏导数， 且满足 ( , )Q x y( , )P x y( , )f x yxy，

　于是利用格林公式可把二重积分化为定积分：

　dxdyyxfDDdttytytxQdttxtytxPdyyxQdxyxPdxdyyPxQL)())(),(()())(),((),(),()(),( （式中的线积分沿 L 的正向）

　.当所得定积分不能准确计算时， 也可利用定积分的各种近似计算公式求二重积分的近似值.

　例 1、 求22Dxy dxdy， 单连通区域 D 的边界 L 为cossin2 ,cos3xtt yt，

　 t .. 27 6 ，

　如下图

　 解：

　根据格林公式， 有

　 x  d L()q, x yydL ()p, x yd dD qxpyx y 由 xd  x2y2 13x3y2x，

　取  ()q, x y 13x3y2x， ()p, x y0，  py qx x2y2

　 d 

　 dD x2 y2x yd L ()q, x yy =7326217293[ (cos3sin2 )cos 3 (cossin2 )]sin3t220tttttdt   d 

　 dD x2 y2x y729220 ，

　 d  d D x2y2x y3.313636364 本例也可使用定积分的近似计算公式， 例如（用 n=20 的 simpson 公式）

　1022312932111(21)(21){4{{3[ ( sin3sin)903015(21)(21)(21)(21)sin( sinsin)]cos}}1030215i10212{{3[ ( sin3sin)sin( sinsin)]cos}}}1515515155iDiiixy dxdyiiiiiiiii  d 

　 dD x2 y2x y3.314384062

　所以 即 所以

　: [1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社， 1993 [2]崔宝同， 王海滨， 等.数学分析的理论与方法[M].科学技术文献出版社， 1990 [3]J.E.韦伯.数学分析——在企业管理与经济学中的应用[M].对外贸易教育出版社， 1987 [4]井爱雯.利用二重积分证明积分不等式[J].高等数学研究， 2000， 3（1）：

　24-25 [5]李大华， 胡适耕， 林益.高等数学典型问题 100 ...

篇七：数学应用与生活小论文

《数列在生活中的应用》系别：素质教学部

　 班级：会计 1502

　 班级：会计 1502

　 姓名：李吉钊

　 姓名：李吉钊

　学号：20151220239

　学号：20151220239

　2015 年 12 月 19 日

　 1数列在生活中的应用 摘要：数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长，住房建设等等问题，都会用到数学中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。

　摘要：数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长，住房建设等等问题，都会用到数学中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。

　关键词：数列 应用 分期付款 资源利用 数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域。在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况。

　等差数列、等比数列是日常生活中我们常常接触到的两个数列，本文主要从数列的实际应用出发，从而激发学生学习数列的兴趣，提高学生对数列的应用能力，探索生活中的数列美。学生对于数学中数列知识的学习，他们的基础不扎实，没有系统的数学知识结构，不仅仅体现在数学运算中无数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域。在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况。

　等差数列、等比数列是日常生活中我们常常接触到的两个数列，本文主要从数列的实际应用出发，从而激发学生学习数列的兴趣，提高学生对数列的应用能力，探索生活中的数列美。学生对于数学中数列知识的学习，他们的基础不扎实，没有系统的数学知识结构，不仅仅体现在数学运算中无

　 2法正确应用公式进行常规计算，在日常生活中也缺乏发现数学美的“眼睛”，更谈不上实际应用。灵活应用等差数列、等比数列的公式解决一些实际问题是本文的一个探讨思路，使学生做到“学以致用”，同时可以提高学习数学，尤其是数列的兴趣。

　法正确应用公式进行常规计算，在日常生活中也缺乏发现数学美的“眼睛”，更谈不上实际应用。灵活应用等差数列、等比数列的公式解决一些实际问题是本文的一个探讨思路，使学生做到“学以致用”，同时可以提高学习数学，尤其是数列的兴趣。

　一、等差数列在生活中的应用 涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清楚数列的首项和公差，然后用其通项公式和前 n 项和的公式，并借助不等式的性质解决问题。

　例：假设某市 2005 年新建住房面积 400 平方米，其中有 250 平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长 8%，加 50 万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建的中低价房的累计面积（以 2500年累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？ 解：设中低价房面积构成数列涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清楚数列的首项和公差，然后用其通项公式和前 n 项和的公式，并借助不等式的性质解决问题。

　例：假设某市 2005 年新建住房面积 400 平方米，其中有 250 平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长 8%，加 50 万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建的中低价房的累计面积（以 2500年累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？ 解：设中低价房面积构成数列} {na, 由题意知} {na是等差数列，其中是等差数列，其中1a=250，d=50 ， 则nS=250n+50*2) 1 (  n n=25n2 +225n 令 25n2 +225n≥4750， 即 n 2 +9n-190≥0 解得

　n≥10,或 n≤-19 （舍去）

　所以，到 2014 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米。

　所以，到 2014 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米。

　 3二、等比数列在生活中的应用 在解决等比数列与应用问题时，首先应明确是解决第 n项的问题，还是解决前 n 项和的问题，然后运用等比数列的性质解决有关问题。

　例：A、B 两个人拿两个骰子做抛掷游戏。规则如下：若掷出的点数之和是 3 的倍数，则由原来掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是 3 的倍数，就由对方。第一次由 A 开始掷，设第 n 次由 A 掷的概率为在解决等比数列与应用问题时，首先应明确是解决第 n项的问题，还是解决前 n 项和的问题，然后运用等比数列的性质解决有关问题。

　例：A、B 两个人拿两个骰子做抛掷游戏。规则如下：若掷出的点数之和是 3 的倍数，则由原来掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是 3 的倍数，就由对方。第一次由 A 开始掷，设第 n 次由 A 掷的概率为 P n ， 求 P n 的表达式。

　解：由题意得，第 n 次由 A 掷有两种情况：

　①第 n-1 次由 A 掷，第 n 次继续由 A 掷，此时概率为的表达式。

　解：由题意得，第 n 次由 A 掷有两种情况：

　①第 n-1 次由 A 掷，第 n 次继续由 A 掷，此时概率为3612，P n-1 =31P n -1； ②第 n-1 次由 B 掷，第 n 次由 A 掷，此时概率为 （1-3612）（1-P n-1 ）=32（1-P n-1 ）。

　由于这两种情况是互斥的，因此，数列 {P n -21} 是以21为首项， -31为公比的等比数列，于是 P n -21=21×（-31）n-1， 即 P n =21+21×（-31  n）。

　例：企业将要进行技术改进，现在有两种方案。甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比上一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，每一年例：企业将要进行技术改进，现在有两种方案。甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比上一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，每一年

　 4可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元；两种方案的使用期都是 10 年，到期一次性归还本息。若银行两种形式的贷款都是按年息 5%的复利计量，试比较两种方案中，哪种获利更多 ？ 解：①甲方案获利：可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元；两种方案的使用期都是 10 年，到期一次性归还本息。若银行两种形式的贷款都是按年息 5%的复利计量，试比较两种方案中，哪种获利更多 ？ 解：①甲方案获利：

　1+(1+30%)+(1+30%)2 +……+(1+30%)9 =3 . 01 - 3 . 110≈42.63（万元）

　 银行贷款本息：

　10×(1+5%)10 ≈16.29（万元）

　所以，甲方案纯利：42.63-16.29=26.34（万元）

　②乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+(1+3×0.5)+……+（1+9×0.5）=10×1+45×0.5=32.5（万元）

　银行本息和②乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+(1+3×0.5)+……+（1+9×0.5）=10×1+45×0.5=32.5（万元）

　银行本息和 ：

　1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+……+(1+5%)9]=1.05×1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+……+(1+5%)9]=1.05×05 . 01 - 05 . 110≈13.21（万元）

　所以乙方案纯利润：32.50-13.21=19.29 万元。

　综上所述，甲方案更好所以乙方案纯利润：32.50-13.21=19.29 万元。

　综上所述，甲方案更好 。

　三、数列在生活中的应用

　数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例。

　例：在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为 200 人，且第一天购买甲种蔬菜的第二数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例。

　例：在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为 200 人，且第一天购买甲种蔬菜的第二

　 5天会有 20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有 30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。

　解：设第 n 天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为天会有 20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有 30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。

　解：设第 n 天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为 A n 、B n ，则：

　A n +1=0.8A n +0.3B n

　B n +1=0.2A n +0.7B n

　由于 A n +B n =200， 则可推算得A n +1=0.8A n +0.3×(200-A n )=60+0.5A n

　则 A n +1-120=0.5×(A n -120)； 可得， {A n -120} 是以 A 1 -120 为首项 ， 0.5 为公比的等比数列；假设，第一天购买甲种蔬菜的有 a 人，则：

　0.5 为公比的等比数列；假设，第一天购买甲种蔬菜的有 a 人，则：

　A n =0.5n-1×(a-120)+120 当 n 趋近于无穷时，易得，An 趋近于 120 且与 a 的值无关。则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在 120 人，购买乙种蔬菜的人数稳定在 80 人。

　上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。当 n 趋近于无穷时，易得，An 趋近于 120 且与 a 的值无关。则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在 120 人，购买乙种蔬菜的人数稳定在 80 人。

　上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。

　四、数列在环境资源利用中的应用 进入 21 世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问进入 21 世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问

　 6题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。在土地资源、森林资源等某些再生资源的利用方面，我们可以利用所学的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用。

　在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比数列和等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的答案；数列也在其他方面都有着不同程度的应用。

　例：1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4×108 吨，占地562.4 平方公里，若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资，则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石 20 吨，设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资。计划以后每年递增 20%的回收量，试问：

　（1）、2001 年回收废旧物资多少吨？ （2）、从 1996 年到 2001 年可节约开采矿石多少吨？（精确到万吨）

　（3）、从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地？ 解：设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量，题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。在土地资源、森林资源等某些再生资源的利用方面，我们可以利用所学的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用。

　在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比数列和等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的答案；数列也在其他方面都有着不同程度的应用。

　例：1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4×108 吨，占地562.4 平方公里，若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资，则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石 20 吨，设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资。计划以后每年递增 20%的回收量，试问：

　（1）、2001 年回收废旧物资多少吨？ （2）、从 1996 年到 2001 年可节约开采矿石多少吨？（精确到万吨）

　（3）、从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地？ 解：设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量， Sn 表示前 n年废旧物资回收总量，则数列表示前 n年废旧物资回收总量，则数列 {an} 是以 10 为首项 ，1+20%为公比的等比数列。

　（1）a6 =10×（1+20%）

　5 =10×1.25≈25

　 7（万吨）

　（2）S 6 =     1 - % 20 11 - % 20 1 106=99.2992≈99.3（万元）

　（3）

　∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石20×99.3=1986（万元）∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石20×99.3=1986（万元）

　（4）

　由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2（万元）由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2（万元）

　∴从 1996 年到 2001 年共节约8410 4 . 710 2 . 397 4 . 562 ≈3 平方公里。

　≈3 平方公里。

　五、结束语 除了上面涉及的几个方面外，数列在生活的其他领域都有着广泛应用。同时，通过对数列在生活中应用的几个方面分析，对数列在社会生活方面的广泛应用及重要地位有了初步了解。只要以后善于学习，善于利用已经学习掌握的知识处理生活的问题，数学就达到了学以致用的目标，因此，数学也就变得有意义了。

　除了上面涉及的几个方面外，数列在生活的其他领域都有着广泛应用。同时，通过对数列在生活中应用的几个方面分析，对数列在社会生活方面的广泛应用及重要地位有了初步了解。只要以后善于学习，善于利用已经学习掌握的知识处理生活的问题，数学就达到了学以致用的目标，因此，数学也就变得有意义了。

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