根与系数的关系教材分析4篇根与系数的关系教材分析 课堂教学设计流程问题与情境 师生行为设计意图一、知识复习： 导入语：同学们，前面我们学习了一元二次方程以及一元二次方程的解法，下面就前下面是小编为大家整理的根与系数的关系教材分析4篇,供大家参考。
篇一：根与系数的关系教材分析
教学设计流程 问题与情境师生行为 设计意图 一、知识复习：
导入语：同学们，前面我们学习了一元二次方程以及一元二次方程的解法，下面就前面学习的内容做一下复习。
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程解的情况怎样确定？ 请同学回答 温故而知新，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学习兴趣。并且复习了以前学的知识为新课打基础。
二、新课讲授：
填写下表：
方程
两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系
X2 +3x-4=0
X2 -5x+6=0
2x2 +3x+1=0
猜想：如果一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的两个根
分教师：下面给出了三个一元二次方程，请同学们求出它们的根，计算出两根之和与两根之积，观察发现两根之和与两根之积和方程系数有什么关系？ 教师：大家有什么发现吗？ （学生可能茫然，没有发现什么。教师逐一出示引导问题，学生再观察，并说明理由）
学生经历讨论的过程，找学生谈发现的规律
以问题为核心，由“特殊到一般”逐步引导学生探究出“一元二次方程根与系数的关系”。
别是 x 1 、x 2 那么，你可以发现什么结论？
由特殊向一般过度：
已知：如果一元二次方程 ax2 +bx+c=0
的两个根分别是 x 1 、x 2 求证：
x 1 +x 2 =-b\a
x 1 x 2 =c\a
总结：
如果一元二次方 ax2 +bx+c=0
的两个根分别是 x 1 、x 2 ， 那么 x 1 +x 2 =-b\a
x 1 x 2 =c\a 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
韦达（1540——1603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
补充一元二次方程根与系数的关系的推论：若一元二次方程x2 +px+q=0 的 两 根 分别是x 1 、x 2 ，那么 x 1 +x 2 =-p
x 1 x 2 =q
注意事项：
一：在确定一元二次方程有根时，不需要验根，直接利用一元二次方程根与系数的关系学生：我发现了…… 大部分学生能够发现这个规律
教师：经历了给定的一元二次方程，我们发现其根与系数的关系，那对于一般的一元二次方程是不是也存在这样的规律呢？下面我们一起证明一下，下面按小组讨论一下怎样证明？ 老师：提示一下，大家会用到一元二次方程的求根公式。
学生分组讨论证明，教师总结。
学生：阅读韦达简介
老师：当二次项系数为 1 时，对于一元二次方程根与系数的关系的推论，大家可以直接应用。
老师：在利用一元二次方程根与系数的关系时，大家需要注意两点，就是验根和不
通过一元二次方程根与系数的关系证明意在体现学生在学习中的主体地位，培养学生分析和解决问题的能力，以及学生的团结协作能力。
通过对数学家韦达的介绍，渗透教育的情感教育，向数学家致敬。
得到相应答案。
二：在不确定一元二次方程有无实数根时，需要验根，根据根的情况做出相应的解答。
二：例题讲解 例 1：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的根 x1， x2 的和与积 • 1、
x2 -6x-15=0 • 2、
5x-1=4x2
• 3、
x2 +x+1=0
课堂练习: 1.下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0
（4）3x2=1 ⒉已知方程 x2 -（2m+1）x+m=0 的两根之和与两根之积相等，那么 m 的值为（
）
A.1 B.-1
C. 2
D. -2 ⒊方程 2x2 -ax+2b=0 的两根和为 4，积为 -3，则 a=
，b=
。
验根的情况。
老师：教师板书，给大家演示做法。
学生：在练习本上练习
检验学生对一元二次方程根与系数的关系掌握的情况，发现学生存在的问题。
三、一元二次方程根与系数的关系的应用（本部分内容与对应课件完全一致）
应用一：求值 例题讲解：
几种常见的求值变形
课堂练习
注意事项：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
应用二、已知两根求作新的方程 知识补充 例题讲解 课堂练习 1.以 2 和 －３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：
应用三、求方程另一个根及 k 的值 （ 老师：分析例题，解释根与系数的关系与求值的联系，强调几种常见的变形，归纳注意事项。
学生：在练习本上做课堂练习。
老师：介绍方法，总结规律。
学生：练习巩固。
加强这部分知识与前面学习内容的联系，使学生认识到数学知识的连贯性
让学生经历合情推理与演绎推理活动，通过知识的产生过程，积累数学活动经验，感悟数学的思维方式，激发创新意识。
例题讲解 例 1
已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。
课堂练习：
1、已知方程 x2 -19x+m=0 的一个根是 1，它的另一个根是
，m 的值是
。
2.已知 x=2 是方程 x2 +mx+6=0 的一个根,则m=
,另一根为
应用四：根的判别式和根与系数关系的综合运用 例 1、方程 mx2 -2mx+m-1=0 有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围。
重要结论（1）
一正根，一负根：△＞0 X1X2＜0 两个正根 ：△≥0 X1X2＞0 X1+X2＞0 两个负根：
△≥0 X1X2＞0 X1+X2＜0
老师：介绍方法，总结规律。
学生：练习巩固。
老师：教师讲解例题，说明与这部分内容结合的知识点，并补充一部分重要结论，使学生在今后的解题中游刃有余。
学生：结合例题先分组讨论，找解决问题的方法。
加强一元二次方程根与系数的关系的应用
加强一元二次方程根与系数的关系的应用，将根的判别式与一元二次方程根与系数的关系相结合。
重要结论（2）
若 ax2bxc0 (a0
0) （1）若两根互为相反数,则 b0; （2）若两根互为倒数,则 ac; （3）若一根为 0,则 c0 ; （4）若一根为 1,则 abc0 ; （5）若一根为1,则 abc0; （6）若 a、c 异号,方程一定有两个实数根.
课堂练习：
已知关于 x 的方程 kx2-2(k+1)x+k-1=0
有两个不相等的实数根， ① 求 k 的取值范围； ②是否存在实数 k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0 ？若存在，求出 k 的值；
四：课堂小结
五：作业布置：
老师：引导学生理解这两部分结论。
学生：掌握这部分结论
学生：练习巩固
学生：通过自由发言的形式，回忆归纳本节所学内容，从内容，应用、思想以及获取新知的方法等方面进行了小结，让学生谈本节课的收获 教师：补充总结
培养学生梳理知识和反思的意识和能力
通过作业巩固、发展、
学情分析
通过前面的学习，学生已经具备认识一元二次方程和解一元二次方程的知识，能进行一般的推理和解答，但对于一元二次方程根与系数的关系学生对这部分知识还比较陌生，存在一定的难度，因此我采用多媒体等手段，让学生动手、动口、动脑、化难为易，深入浅出，让学生感受学习知识的乐趣。
“授人以鱼，不如授人以渔”，通过设计问题，引导学生主动探究新知，合作交流，体现学习的自主性，从不同层次发掘学生的创新精神。
课本 148 页练习：1、2、3
提高。同时反馈教学效果。
效果分析
本课设计力求让学生参与知识的发现过程，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体，给学生提供一个探索的空间，促使学生主动参与，亲身体验勾股定理的探索证明过程，从而锻炼思维、激发创造，优化课堂教学。努力做到有传统的教学课堂像实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人，培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。
一元二次方程根与系数的关系教材分析
本节课是学生在已经掌握了解一元二次方程的基础上进行学习的，通过求一元二次方程的根，引入一元二次方程根与系数的关系，进而探索一元二次方程根与系数关系的应用，增强学生的应用意识，培养分析和解决问题的能力。
教学重难点 教 学 重 点 ：
一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 的 探 索 过 程 。
教 学 难 点 ：
一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 的 应 用 。
课堂练习:
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）
（1）x 2 -3x+1=0
（2）3x 2 -2x=2 （3）2x 2 +3x=0
（4）3x 2 =1 ⒉已知方程 x2 -（2m+1）x+m=0 的两根之和与两根之积相等，那么 m 的值为（
）
A.1 B.-1
C. 2
D. -2 ⒊方程 2x2 -ax+2b=0 的两根和为 4，积为 -3，则 a=
，b=
。
4. 以 2 和 －3 为根的一元二次方程（二次项系数为１）为
5、已知方程 x2 -19x+m=0 的一个根是 1，它的另一个根是
，m 的值是
。
6.已知 x=2 是方程 x2 +mx+6=0 的一个根,则 m=
,另一根为
7. 已知关于 x 的方程 kx2-2(k+1)x+k-1=0 有两个不相等的实数根， ② 求 k 的取值范围； ②是否存在实数 k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0 ？若存在，求出 k 的值；
本节课应注意不同层次学生的困难，有效调动学生参与度，及时点拨，注意时间的把握，节奏要紧凑些，使课堂氛围既轻松又紧张，不能使学生只注意参与而忽视知识的落实。
课标分析
教学目标
根据九年级学生的认知水平，依据新课程标准和教学大纲的要求我制订了如下教学目标：
1 1 知识与能力目标：了解一元二次方程根与系数的关系的发现过程，掌握一元二次方程根与系数的关系的内容，培养学生在实际生活发现问题总结规律的意识和能力。
2 2 过程与方法目标：
通过创设情境，导入新课，引导学生探索一元二次方程根与系数的关系，并应用它解决问题。运用了观察、猜想、证明等方法学习新知。
3 3 感情态度价值观
感受数学文化，激发学生的学习热情，体验合作学习成功的喜悦，感受数课后反思
本 节课 通过 学生 的自 主学 习和 动手 操作 证明 ，能 够充 分锻 炼学 生的 观察能力和自主学习的意识；本节课学生参与度较高，能够有效激发不同层次的学生学习热情和愿望；通过不同层次的训练习题，能够做到及时内化所学的知识内容，体现了课堂的实效性。
学对社会发展的推动作用。
篇二：根与系数的关系教材分析
教学目标】知识目标：
1、能说出一元二次方程及其相关概念。
2、会利用有关概念解决相关问题。
过程目标：
在经历观察、归纳、提示的这个过程中，通过尝试与交流，体会运用自己成果的喜悦。
情感目标：
通过观察、归纳等活动，经历发现问题，养成独立思考的习惯，并通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神。
教学重难点：
1．重点：
运用知识技能解决问题。
2．难点：
解题分析能力的提高。
【 教法学法】
教法：启发谈话与讨论相结合、边讲边练。
学法：对比法、归纳法、
【 课件教具】
多媒体课件、自测题。
【 教学过程】
环节 教师活动 学生活动 设计意图 创设情景引入课题
开门见山，提出问题，导入新课。
学生思考 回忆 直截了当地提出问题让学生思考。有的放矢的提问，激发求知欲。
教 学 流 程
1．出示本节的：学习目标、重点、难点 2、知识点一 （1）课件展示：什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？（2）针对性练习（3）针对性讲解，强调二次项系数不为 0 3、知识点二 （1）一元二次方程的解 （2）出示课件变式练习题 学生记忆
回忆一元二次方程及其一般形式 积极抢答。
根据定义和一般形式做题。
学生回答 做题
交流，小组回答。订正错误。
让学生有的放矢的学习。对要掌握的知识心中有数。
巩固一元二次方程概念及其一般形式，为下一步做题提供做题依据
层层引导、步步深入，学生从自己的求知愿望出发探究问题，必能激发学生的探究热情。
4、知识点三 （1）一元二次方程的解法 （2）出示课件，在做题中复习四种解法。
（3）教师总结解方程怎样选择方法可以节省时间。
5、知识点四 （1）根的判别式 （2）一元二次方程根的三种情况。
（3）针对性练习 （4）有实数根和有不等实数根的区别
6、知识点五 （1）一元二次方程根与系数的关系 （2）例题 （3）习题
学生回答 上黑板板演解题过程。
讨论交流，使学生认识几种不同解法的不同。
学生回答
积极练习，在练习中掌握。
展示
分析归纳，得出结论。。
小组讨论得出结果
习题结果展示
认识不同的解法，根据问题选择快捷的方法。
注重对学生进行解题方法指导
培养学生的归纳分析能力
培养学生的合作交流意识及语言表达能力。使学生充分体验成功的喜悦。
7、引导学生对本节內容小结。
检验自己是否达到了预设的学习目标。
对本节课学习知识有一个整体把握和认识。
达标测试 出示达标测试题，视学生完成的情况，有选择性的加以讲解。
一起讨论交流，回答问题，互相促进，共同提高。
巩固本节内容，促进情感的提升。
布置作业 必做题：新中考第十页 课后及时巩固。
加深理解。
【 板书设计】
第二单元一元二次方程
1、
一元二次方程概念及其一般形式
2、一元二次方程的根
3、一元二次方程的解法
4、一元二次方程根的判别式 5、根与系数的关系
一元二次方程学情分析
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
另外，学生在情感态度、学习策略方面存在诸多需要进一步解决的问题。例如：个别学生缺乏小组合作，一些学生没有养成良好的学习习惯，不能做好课前预习课后复习，学习没有计划性和策略性；不善于总结和发现语言规律，不注意知识的巩固和积累。
效果分析
说明一元二次方程的重要性，联系中考，一元二次方程可能会是中考的压轴题型，激励学生学习的积极性。复习一元一次方程的定义和一般形式：因为一元一次方程是基础，一元二次方程是延伸，复习一元一次方程是合乎知识逻辑的。通过比较得出两种方程都是只含有一个未知数的整式方程，差异仅在于未知数的最高次数不同。由此，很容易建立起“一元二次方程”的概念，同时，培养学生类比思想的运用。完成情况较好，学生积极性较高。学生通过找出是否是一元二次方程的练习引入一元二次方程的一般形式的讲解。通过练习发现学生掌握情况良好。通过小节，学生对本课知识进行回顾，完成本节课的学习目标，效果良好。学生能运用所学完成一元二次方程的定义及一般形式的相关题目所呈现的问题，实现能力与目标的合二为一。
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一、一元二次方程的教学要求
1. 对一元二次方程的学习要求 新课程标准 数学模型
估计方程解的过程
会解方程(组)
理解配方法 会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
检验结果是否合理
教材中本章学习目标
2. 一元二次方程的地位与作用 从内容上看，教材目前只是突出最重要的基础知识和最基本的技能，教师教学时要注意把握好教学要求， 本章的内容是进一步学习函数、方程、不等式等内容的基础，学生若掌握不好，会给后继的学习带来许多困难，所以教学中教师要切实关注每一个学生的学习状况. 3、17 年中考说明中的要求 考试内容是指《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中所规定的学习内容.
学习内容
考试要求层次
A
B
C
一元二次方程
了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范
指出各项系数；了解一元二次方程根的意义
围；会由方程的根求方程中待定系数的值
一元二次方程的解法 理解配方法，会用 直 接 开 平 方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况 能利用根的判别式说明含有 字母系数的一元二次方程根的情况 及由方程根的情况确定方程中待定系数的 取值范围； 会用配方法对代数式作 简 单 的变形； ； 会运用一 元二次方程解决简单的题 实际问题
4. 本章知识结构图
5. 本章涉及到的思想方法 降次, 突出配方法和化归, 数学建模思想
《一元二次方程》复习学案
一、 知识梳理 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且所含未知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般式：
) 0 ( 02 a c bx ax
3. 解一元二次方程的一般方法有：
（ （1 ）
直接开平方法:适用可化为形如(x-h) 2 =k(k k≥ ≥ 0) 的方程 （ （2 ）
配方法:
注意两点：
①首先将二次项系数变为 1； ②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解． （3）
公式法：aac b bx242 （ 0 4 , 02 ac b a ）
（4）
因式分解法. 4.一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ) 0 ( 02 a c bx ax 的根为：2 1 ,xx ，则 ,2 1abx x
.2 1acx x
5.一元二次方程的应用
二、基础训练 1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）． ①3x 2 +7=0
②ax 2 +bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2 -1
④3x 2 -5x=0
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个． 2. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x 2 -5 化为一般形式
.其中二次项系数
，常数项
. 3. 当 m
时，方程 mx 2 -3x=2x 2 -mx+2 是一元二次方程. 当 m
时，方程(m 2 -4)x 2 -(m+2)x-3=0 是一元一次方程. 4.一元二次方程(m-2)x 2 +3x+m 2 -4=0 有一解为 0，则 m 的值是
. 5.一元二次方程 3x 2 =2x 的解是
. 6.已知 x 2 -2x-3 与 x+7 的值相等，则 x 的值是________． 7.方程 x（x-1）=2 的两根为（
）． A．x 1 =0，x 2 =1
B．x 1 =0，x 2 =-1
C．x 1 =1，x 2 =2
D．x 1 =-1，x 2 =2 8．把方程 x 2 -4x-6=0 配方，化为（x+m）
2 =n 的形式应为（
）． （A）（x-4）
2 =6
（B）（x-2）
2 =4
（C）（x-2）
2 =0
（D）（x-2）
2 =10 9.关于 x 的方程 0 1 32 x kx 有实数根，则 K 的取值范围是
(
) A、49 k
B、 0 k49 且 k
C、49k
D、 0 k49k 且
10.解下列方程 (1) 2（x-3）
2 =72
(2)x(x-1)=3-3x (3) 22 2 2 x x
(4)3x 2 +x=1 (5)x 2 -x-12=0
(6) 0 1 8 22 x x
11.请写出两根分别为-2，3 的一个一元二次方程_________
． 12.方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm 2 ，则它的周长为________． 13.市计划经过两年时间，绿地面积增加 44%，•这两年平均每年绿地面积的增长率是（
）．
（A）19%
（B）20%
（C）21%
（D）22% 14.右图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（墙长 18 米）， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m，所围的面积为 150 m 2 ，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______
．
15 在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，•制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 5 400cm 2 ，设金色纸边的 宽为 xcm，•那么 x 满足的方程是（
）．
（A）x 2 +130x-1 400=0
（B）x 2 +65x-350=0 （C）x 2 -130x-1 400=0
（D）x 2 -65x-350=0
16．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降 价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
三、提高练习 1.方程 0 5 3 2 mx x mm是关于 x 的一元二次方程，则（
）
A.m= 2
B. m=2
C. m= 2
D. 2 m
2. 已知1x ，2x 是方程26 3 0 x x 的两实数根，则2 11 2x xx x 的值为______
3.一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m。如果梯子的顶端下滑 1 m，梯子的底端滑动 x m，可得方程
。
4.阅读下面的例题 解方程 0 2 | |2 x x
解：（1）当 x ≥0 时，原方程化为 0 22 x x ， 解得：
21 x ， 12 x （不合题意，舍去）． （2）当 x ＜0 时，原方程化为 0 22 x x ，
解得：
11 x （不合题意，舍去）， 22 x ． ∴ 原方程的根是 21 x ， 22 x ． 请参照例题解方程 0 1 | 1 |2 x x
课本 P70
1、 P71
2、3、4
四、考点研究 近年考查一元二次方程主要有：
（1）对一元二次方程及方程的解等概念的理解，主要从利用方程的根求解待定字母等方面命题； （2）一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系； （3）解一元二次方程及一元二次方程的应用。
1.（2007 湖北武汉）如果 2 是一元二次方程 x 2 ＝c 的一个根，那么常数 c 是（
）。
A、2
B、－2
C、4
D、－4 2.（2007 安徽芜湖）已知 2 5 是一元二次方程24 0 x x c 的一个根，则方程的另一个根是
．
3.（2007 广州）关于 x 的方程20 x px q 的两根同为负数，则（
）
A． 0 p> 且 q> 0
B． 0 p> 且 q< 0
C． 0 p< 且 q> 0
D． 0 p< 且 q< 0
4. （2006 黑龙江）若关于 x 的方程 0 3 22 c x x 的一个根是 1，则另一个根是__________
课后练习：
1.将方程（2x+1）(x+2)=6 化成一元二次方程的一般形式得____________________，其中二次项系数是_____、一次项系数是______、常数项是________. 2．关于 x 的方程 0 1 2 ) 3 ( ) 3 (2 2 a x a x a 是一元二次方程的条件是(
) A. 0 a
B. 3 a
C. 3 a
D. 3 a
3．填上适当的数，使下列等式成立 （1）2 2____) ( ______ 6 x x x
（2）2 2____) ( ______ 3 x x x
4．请按指定的方法解下列方程：
（1）
0 52 x
（2）
0 5 22 x x （配方法）
（3）
0 1 7 22 x x （公式法）
（4）
9 82 x x （因式分解法）
5．两个数的和为 2，积为-15，则这两个数为_____________. 6．三角形的两边长分别是 6 和 8，第三边是方程 0 60 162 x x 的一个实数根，则该三角形的周长是（
）
A. 20
B. 24
C. 20 或 24
D. 不能确定。
7．某农场的粮食产量为 3000 吨，要在两年内增加 630 吨，设平均每年增产的百分率为 x，则根据题意，可列方程为（
）
A. 630 ) 1 ( 30002 x
B. 3630 ) 1 ( 30002 x
C. 3000 ) 1 ( 6302 x
D. 3000 ) 1 ( 36302 x
8．某西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克。另外，每天的房租等固定成本共 24 元。该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
【探究提高】
9．如图△ABC 中，∠C=90°AB=10cm,AC=8cm,点 P 从点 A 开始出发，向点 C 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点出发向点 C 以 1cm/s 的速度移动。若 P、Q 分别同时从 A、B 出发，几秒后四边形 APQB 是△ABC 面积的32。
教学反思
反思本节的教学，我深刻体会到，在数学教学中，不能拘泥于教材，要结合自己的学生实际情况，教师要对教材内容进行再加工，适用的才是最好的；要充分挖掘利用学生头脑中的原意识，从学生认知角度出发剖析和认识新概念，用学生自己的潜意识来构建学生自己的概念。探究实验一定要让学生动手参与，实验分析要透彻全面，分析与总...
篇三：根与系数的关系教材分析
2一元二次不等式及其解法（1）
【教学过程】
讲授新课 （1）
一元二次不等式的定义 象250xx−< 这样， 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的不等式， 称为一元二次不等式．
（2）
探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式250xx−< 的解集呢？
探究：
①二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：
二次方程的有两个实数根：120, 5xx==
二次函数有两个零点：120, 5xx==
于是， 我们得到：
二次方程的根就是二次函数的零点．
②观察图象， 获得解集 画出二次函数25yxx=−的图象， 如图， 观察函数图象， 可知：
当
0x <， 或5x >时， 函数图象位于 x 轴上方， 此时，0y >， 即250xx−>；
当 05x<<时， 函数图象位于 x 轴下方， 此时，0y < ， 即250xx−< ；
所以， 不等式250xx−< 的解集是{}| 05xx<<， 从而解决了本节开始时提出的问题．
（3）
探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式， 总可以化为以下两种形式：0bxc++ < (0)a >．
20axbxc++>， 或2ax 一般地， 怎样确定一元二次不等式20axbxc++>与20axbxc++ <的解集呢？
组织学生讨论：
从上面的例子出发， 综合学生的意见， 可以归纳出确定一元二次不等式的解集， 关键要考虑以下两点：
①抛物线与 x 轴的相关位置的情况， 也就是一元二次方程20axbxc++=的根的情况；
②抛物线2yaxbxc=++ 的开口方向， 也就是 a 的符号．
总结讨论结果：
①抛物线 2axbx+要分二种情况讨论．
2yaxbxc=++(0)a >与 x 轴的相关位置， 分为三种情况， 这可以由一元二次方程0c+=的判别式24bacΔ =−三种取值情况(0Δ >，0Δ = ，0Δ <）
来确定． 因此，②0a <可以转化为0a > 分+0Δ >bx，0Δ = ，(a >0Δ <三种情况， 得到一元二次不等式的解集．
20axbxc++>与20axc+ <0)设相应的一元二次方程20axbxc++=(0)a ≠的两根为1212xxxx≤、且，24bacΔ =−， 则不等式的解的各种情况如下表：
(让学生独立完成课本第 77 页的表格)
Δ >0
0Δ =
0Δ < 二次函数 yax=2bxc++
(0)a >的图象
一元二次方程 2axbx+0c+= 有两相异实根 ,
(xxx1212)x< 有两相等实根 122bxxa== − 无实根 20ax(a >bxc++>0)的解集 {}12x xxxx<>或 2bx xa≠ − R 20ax(a >bxc++ <的解集 0){}12x xxx<< ∅
∅
范例讲解 例 1 求不等式24410xx−+ >的解集.
解：
因为0Δ =， 方程24410xx−+ =的解是1212xx==．
所以， 原不等式的解集是12x x≠．
评述：
本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法， 一定要保证步骤正确， 计算准确．
例 2
解不等式2230xx−+− >．
解：
整理， 得因为Δ <2230xx2−+ <2−.
0， 方程2x30xx+ =无实数解，
所以不等式230x−+ <的解集是∅ .
从而， 原不等式的解集是∅ .
评述：
将2230xx−+− >转化为2230xx−+ <的过程注意符号的变化， 这是解题关键之处，讲课要放慢速度．
变式训练：
.解下列不等式：
（1）2223xx−>−− ； （2）2210xx−+ >； （3）2220xx−+<．
解：
（1）
原不等式可化为 02322>−− xx，
因为2,210232, 0212=−==−−>Δxxxx的解是方程. 所以函数2332yxx=−−的图像是开口向上的抛物线， 与 x 轴有两个交点()1,0 , 2,02−，
由图像可得， 原不等式的解集是>−<2,21xxx或. （2）
方程2210xx−+ =有两个相同的解121xx== ．
函数221yxx=−+ 的图像是开口向上的抛物线， 与 x 轴仅有一个交点()1,0，
由图像可得， 不等式2210xx−+ >的解集为 {} 1x x ≠．
（3）
因为0Δ <， 所以方程2220xx−+=无实数解，
函数222yxx=−+的图像是开口向上的抛物线， 与 x 轴无交点，
由图像可得， 不等式的解集∅．
(七).课堂练习 解下列不等式：
(1) 27120xx−+>；
(2) 2230xx−−+ ≥；
(3) 2210xx−+ <；
(4) 2220xx−+<．
解：
(1)方程27120xx−+=的解为123,4xx==． 根据2712yxx=−+的图象， 可得原不等式27120xx−+>的解集是{ |34}x xx<>或．
(2)不等式两边同乘以 1− ， 原不等式可化为2230xx+− ≤．
方程2230xx+− =的解为123,1xx= −= ．
根据223yxx=+−的图象， 可得原不等式2230xx−−+ ≥的解集是{ | 31}xx− ≤≤．
(3)方程2210xx−+ =有两个相同的解121xx== ．
根据221yxx=−+ 的图象， 可得原不等式2210xx−+ <的解集为∅ ．
(4)因为0Δ <， 所以方程2220xx−+=无实数解， 根据222yxx=−+的图象， 可得原不等式2220xx−+<的解集为∅ ．
4． 课时小结 解一元二次不等式的步骤：
①将二次项系数化为“ + ”：②计算判别式 Δ ， 分析不等式的解的情况：
20Aaxbxc=++> (或0<) (0)a >．
ⅰ ．0Δ >时， 求根12xx<，12120;0.AxxxAxxx><> 0<<<若， 则或若， 则 ⅱ ．0Δ = 时， 求根，0000.AxxAxAxx>≠<∈ ∅≤=若， 则的一切实数；若， 则；若， 则 ⅲ．0Δ <时， 方程无解，00.AxAx>∈≤∈ ∅R若， 则；若， 则 ③写出解集．
【作业布置】
课本第 80 页习题 3. 2 组第 1 题 【板书设计】
一元二次不等式的定义
探 究 一 元 二 次 不 等 式250xx−< 的解集 一元二次不等式的解的各种情况列表 范例讲解 例 1
练习
例 2
课堂练习
【教学后记】
3. 2
一元二次不等式及其解法（2）
【教学过程】
2． 范例讲解 例 3
某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：11xx+． 在一次交通事故中， 测得这种车的刹车距离大于 39. 5m， 那么这辆汽车刹车220180s=前的速度是多少？ （精确到 0. 01km/h）
解：
设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h， 根据题意， 我们得到21139.520180xx+> 移项整理得：2971100xx+−> 显然0>△， 方程2971100xx+−=有两个实数根，即1288.94, 79.94xx≈ −≈．
所以不等式的解集为{}|88.94, 79.94x xx< −>或．
在这个实际问题中，0x >， 所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79. 94km/h.
评述：
注意体会三个“二次” 之间的关系．
变式训练 例 4
一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线， 这条流水线生产的摩托车数量x（辆）
与创造的价值 y（元）
之间有如下的关系：
22220yxx= −+ 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上， 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：
设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车， 根据题意， 我们得到 222206000xx−+> 移项整理， 得
211030000xx−+< 因为1000=>△， 所以方程211030000xx−+=有两个实数根1250, 60xx==．
由二次函数的图象， 得不等式的解为：
5060x<<．
因为 x 只能取正整数， 所以， 当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51-59 辆之间时， 这家工厂能够获得 6000 元以上的收益．
评述：
教师板书图象的绘制过程， 以起到示范作用．
例 4：
解关于 x 的不等式：
x2-（a+a2）
x+a3＞0（a∈R）
. 思路分析：
首先考虑是否可以因式分解,分解之后可知作为方程的根是 a,a2,需要对两根进行比较大小,所以要进行讨论. 解：
将不等式 x2-（a+a2）
x+a3＞0 变形为（x-a）
（x-a2）
＞0. 当 a＜0 时， 有 a＜a2， 解集为｛x｜ x＜a 或 x＞a2｝ ；
当 0＜a＜1 时， 有 a＞a2， 解集为｛x｜ x＜a2或 x＞a｝ ；
当 a＞1 时， 有 a＜a2， 解集为｛x｜ x＜a 或 x＞a2｝ ；
当 a=0 时， 解集为｛x｜ x≠0｝ ；
当 a=1 时， 解集为｛x｜ x≠1｝ . 变式训练若10<< a， 则不等式0)(322<++−axaax的解集是
（
）
A．axx>|{或}2ax <
{B．}|{2axax<<
C．}|{2axax<<
a+D．2|axx>或} ax < Ｃ
解析：
令223()0xaxa−+=， 即2()()0xa xa−−=， 得 xa=或2a .因为 01a<< ，所以2aa<， 故不等式0)(322<++−axaax的解集是}|{2axax<<.
已知一元二次不等式2(2)2(2)40mxmx−+−+>的解集为 R ， 求m 的取值范围．
解：2(2)2(2)4ymxmx=−+−+为二次函数，2m∴≠ 二次函数的值恒大于零， 即2(2)2(2)40mxmx−+−+>的解集为 R ．
200m− >∴Δ <m，
即
224(2)16(2)0mmm>| 2−−−<， 解得：226mm><< ∴的取值范围为{6}mm<< 例 5． 若函数22yxkxk=++中自变量 x 的取值范围是一切实数， 求k 的取值范围 解：
22yxkxk=++中自变量 x 的取值范围是 R ，
∴220xkxk++≥恒成立．
∴故k 的取值范围是{ | 02440kkΔ =−≤ ∴ 0k1k≤≤k≤
1}．
≤ (七).课堂练习 不等式 ax2+bx+2＞0 的解集是{x|-21＜x＜31},则 a-b 等于（
）
A.-4
B.14
C.-10
D.10 思路解析：
已知不等式的解集求系数， 可转化为相应方程对应根的问题， 运用根与系数的关系求解. 由 ax2+bx+2＞0 的解集是{x|-21＜x＜31}知-21，31是方程 ax2+bx+2=0 的两根， 且 a＜0， 由韦达定理， 得×−=+−=−,31212,3121aab∴−=−=. 2,12baa∴ -b=-10. 答案：
C 已知不等式20axbxc++ >的解集为{ | 2b3}xx<<求不等式20cxbxa−+>的解集．
解：
由题意 232 3× =0acaa+ = −<，
即560bacaa= −=<． 代入不等式20cxbxa−+>得：
2650(0)axaxaa++=<． 即26510xx++ <，
所求不等式的解集为1312{ |x}x−<< −．
变式训练 有一批影碟机（VCD）
原销售价为每台 800 元， 在甲、 乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：
买一台单价为 780 元， 买两台每台单价都为 760 元，依次类推， 每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元， 但每台最低不能低于 440 元； 乙商场一律都按原价的 75%销售.某单位需购买一批此类影碟机， 问去哪家商场购买花费较少？
思路分析：
根据题意， 首先要找出两个商场的花费与购买量的函数关系式， 然后建立差价与台数的函数， 通过解不等式来确定大小. 解：
设某单位需购买 x 台影碟机， 甲、 乙两商场的购货款的差价为 y，
则当 800-20x≥440， 即 1≤x≤18 时， 去甲商场共花费（800-2x）
x,当 x＞18 时， 花费 440x. 1≤x≤18.∴ 去乙商场购买共花费 600x,x∈N*, y=∴18.181,600440,160)20800(>≤≤−−−xxxxxxx =,18181,160,202002>≤≤−−xxxxx 得).(10,10)(101, 0, 0, 0**NxxxNxxyyy∈>=∈<≤<=>
故若买少于 10 台， 去乙商场花费较少； 若买 10 台， 去甲、 乙商场花费一样； 若买超过10 台， 去甲商场花费较少. 4． 课时小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．
【板书设计】
一元二次不等式的解法步骤
一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的关系 范例讲解 例 3
练习
例 4
练习 补充例题 例 5
练习
【作业布置】
课本习题 3. 2 组第 4， 6 题 【教学后记】
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篇四：根与系数的关系教材分析
：科目 ：
数学 教师：
第
阶段第
次课 2013 年
月
日
时
课
题：
根与系数的关系（韦达定理）
授课内容：
一． 基础知识 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（ a≠0）
有两个实数根2142bbacxa− +−=，2242bbacxa− −−=，
则有
2212442222bbacbbacbbxxaaaa− +−− −−−+=+== −；
2222122−244(4)42244bbacbbacbbacaccx xaaaaa− +−− −−−=⋅===．
所以， 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
的两根分别是 x1， x2， 那么 x1＋x2＝ba−， x1· x2＝ca．
这一关系也被称为韦达定理．
特别地， 对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0， 若 x1， x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p， x1· x2＝q， 即
p＝－(x1＋x2) ， q＝x1· x2，
所以， 方程 x2＋px＋q＝0 可化为 x2－(x1＋x2) x＋x1· x2＝0， 由于 x1， x2是一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根， 所以， x1， x2也是一元二次方程 x2－(x1＋x2) x＋x1·x2＝0． 因此有以两个数 x1， x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）
是 x2－(x1＋x2) x＋x1· x2＝0．
二． 例题 例 1． 若方程 x2－3x－1＝0 的两根分别是 x1和 x2， 则1211xx+＝
．
例 2. 以－3 和 1 为根的一元二次方程是
．
2560xkx+−=的一个根是 2， 求它的另一个根及 k 的值．
例 3.
已知方程
例 4. 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2) x＋m2＋4＝0 有两个实数根， 并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21， 求 m 的值．
例 5. 已知两个数的和为 4， 积为－12， 求这两个数．
例 6.若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根 11+ 的值；
（3）（1）
求|
x1－x2| 的值；
（2）
求2212xx3312xx+．
变式 1：
若12,x x 是方程2220070xx+−=的两个根， 试求下列各式的值：
(1)
2212xx+；
(2)
1211xx+；
(3)
12(5)(5)xx−−；
(4)
12||xx− 变式 2: 已知2816 |1| 0− = ， 当 k 取何值时， 方程 kxaab+++2＋ax＋b＝0 有两个不相等的实数根？
例 7.
若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于零、 另一根小于零， 求实数 a 的取值范围．
．
例 8. 已知关于 x的方程221(1)104xkxk−+++ =， 根据下列条件， 分别求出 k 的值。
(1)
方程两实根的积为 5；
(2)
方程的两实根12,x x 满足12||xx=。
例 9. 已知12,x x 是一元二次方程24410kxkxk−++ =的两个实数根。
(1) 是否存在实数 k ， 使12123(2)(2)2xxxx−−= −成立？ 若存在， 求出 k 的值；
若不存在， 请您说明理由。
(2) 求使12212xxxx+− 的值为整数的实数 k 的整数值。
变式：
（1）若 m， n 是方程 x2＋2005x－1＝0 的两个实数根， 则 m2n＋mn2－mn 的值等于
．
（2）
如果 a， b 是方程 x是
．
2＋x－1＝0 的两个实数根， 那么代数式 a3＋a2b＋ab2＋b3的值
三、 学生对于本次课的评价：
○ 特别满意
○ 满意
○ 一般
○ 差
学生签字：
四、 教师评定：
1、
学生上次作业评价：
○ 好
○ 较好
○ 一般
○ 差 2、
学生本次上课情况评价：
○ 好
○ 较好
○ 一般
○ 差
教师签字：
教研组签字：
教务处签字：
教务处盖章
练
习 1． 选择题:
（1）
已知关于 x 的方程 x
（A）
－3
（B）
3
（C）
－2
（D）
2 （2）
下列四个说法：
①方程 x②方程 x2＋kx－2＝0 的一个根是 1， 则它的另一个根是（
）
2＋2x－7＝0 的两根之和为－2， 两根之积为－7；
2－2x＋7＝0 的两根之和为－2， 两根之积为 7；
③方程 3 x2－7＝0 的两根之和为 0， 两根之积为73−；
④方程 3 x其中正确说法的个数是（
）
（A）
1 个
（B）
2 个
（C）
3 个
（D）
4 个 （3）
关于 x 的一元二次方程 ax2＋2x＝0 的两根之和为－2， 两根之积为 0．
2－5x＋a2＋a＝0 的一个根是 0， 则 a 的值是（
）
（A）
0
（B）
1
（C）
－1
（D）
0， 或－1 2. 方程 mx2＋x－2m＝0（m≠0）
的根的情况是
．
3. 已知方程 x
2－3x－1＝0 的两根为 x1和 x2， 求(x1－3) ( x2－3) 的值．
4. 已知关于 x 的方程 x（1）
求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）
设方程的两根为 x1和 x2， 如果 2(x1＋x2) ＞x1x2， 求实数 k 的取值范围．
5． 一元二次方程 axxx+； （2）
x12－kx－2＝0．
2＋bx＋c＝0（a≠0）
的两根为 x1和 x2．
求：
（1）
|
x1－x2| 和1223＋x23．
6． 关于 x 的方程 x
2＋4x＋m＝0 的两根为 x1， x2满足|
x1－x2| ＝2， 求实数 m 的值．
7． 填空:
（1）
方程 kx（2）
方程 2x（3）已知关于 x 的方程 x2＋4x－1＝0 的两根之和为－2， 则 k＝
．
2－x－4＝0 的两根为α ， β ， 则α2－ax－3a＝0 的一个根是－2， 则它的另一个根是
．
2＋β2＝
．
（4）
方程 2x2＋2x－1＝0 的两根为 x1和 x2， 则|
x1－x2| ＝
．
8． 试判定当 m 取何值时， 关于 x 的一元二次方程 m2x2－(2m＋1)
x＋1＝0 有两个不相等的实数根？ 有两个相等的实数根？ 没有实数根？
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