两动一定最小值问题怎么解决7篇两动一定最小值问题怎么解决 例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．若P、Q分别是AB和AC上的动点，则PC+PQ的最下面是小编为大家整理的两动一定最小值问题怎么解决7篇,供大家参考。
篇一：两动一定最小值问题怎么解决
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．若 P、Q 分别是 AB 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是_________.分析：作点 C 关于 AB 的对称点 D，过 D 作 DQ⊥AC 于 Q，则 DQ 的长度即为 PC+PQ 的最小值， 由勾股定理得到2 28 AC AB BC ,根据三角形的面积可求得 4825AC BCCDAB ,通过△DQC∽△ABC，得到CD DQAB AC ,代入数据即48510 8DQ 可得19225DQ .∴PC+PQ 的最小值是19225 答案: 19225 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形，其中一边上有一定点，在两边上各有一动点，与定点的和求最小值时，只需要过定点作关于另一条线成轴对称的点，再通过对应点作定点所在线的垂线，垂线段的长度即为所求最小值,求最小值时常借助相似，过定点作垂直于定点所在线的高与另一线相交形成的直角三角形，与定点、对应点和最小值所形成的直角三角形相似可求出最小值
练习：
1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5.若点 M、N 分别是线段 AC、AB 上的两个动点,则 BM+MN的最小值是(
)
A.10
B.8
C. 5 3
D.6
2.如图，E 是正方形 ABCD 中边 CD 上一点，且 DE= 2 CE，连接 BE，P、Q 分别是 BE、BC上的动点，若 AD= 3 2 ，则 PC+PQ 的最小值是______.
答案：
2.分析：根据正方形的边长和 DE= 2 CE，求出 CE，再利用勾股定理列式求出 BE2 ，作点 C关于 BE 的对称点 C′，根据垂线段最短，作 C′Q⊥BC 与 BE 的交点即为所求的点 P，利用△BCE 和△C′QC 相似，相似三角形对应边成比例列式表示出 C′Q，利用三角形的面积用CC′表示出 BE，然后整理求解即可． 答案：3.
例：
如图，在△ABC 中，∠B=45°，∠BAC=30°，AB= 6 2 3 ，AD 是∠BAC 的平分线，若 P、Q 分别是 AD 和 AC 的动点，则 PC+PQ 的最小值是_____.
分析：作 CE⊥AB，垂足为 E，交 AD 于 P 点，过 P 点作 PQ⊥AC，垂足为 Q．则 CP+PQ 为所求的最小值，根据 AD 是∠BAC 的平分线可知 PE=PQ，再由锐角三角函数的定义或勾股定理即可得出结论．
答案：
2 3 总结：当三角形中出现锐角的角平分线及锐角一边上的顶点（定点）及动点和角平分线线上的动点对应相连线段的和最小时，只需要通过定点向锐角的另一边作垂线，垂线段即为所求最小值
练习：
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD 是△ABC 的角平分线，若 P，Q 分别是 AD 和 AC 边上的动点，则 PC+PQ 的最小值是_____.
2. 如图,在锐角三角形 ABC 中,AB=6,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M,N 分别是AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是________.
答案：
1.125
分析：过点 C 作 CE 垂直 AB 于点 E，则 CE 为最小值
例：（2015 秋•江津区校级期中）如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值是______．
分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， ∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB， ∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， ∴△COD 是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm．∴△PMN 的周长的最小值=8cm． 答案：8cm． 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形的内部有一定点与相交线上的两动点形成的三角形周长最小，只需要分别定点关于这两条线成轴对称的对应点，连接两个对应点形成的
线段与相交线的交点即为两动点的位置，这个时候会得到多个等腰三角形，如△POD，△POC，△COD，△PND，△PMC，并且会得到“V”的夹角的 2 倍角
练习：
1. 如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=5cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,△PMN 周长的最小值是 5cm,则∠AOB 的度数是( )
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
2.（2015 秋•青山区期末）如图，∠AOB=α°，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=6cm，点 M和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是 6cm，则α的值是_______.
3.如图，∠AOB=30°，点 P 为∠AOB 内一点，OP=10，点 M、N 分别在 OA、OB 上，则△PMN周长的最小值是_____．
4.如图，P 为∠AOB 内一定点，M、N 分别是射线 OA、OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=_______.
答案：
2. 分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出 PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= 12∠COD，证出△OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果 答案：30 3.10 4.40°
例：（2015 玉林）如图,已知正方形 ABCD 边长为 3,点 E 在 AB 边上且 BE=1,点 P,Q 分别是边BC,CD 的动点(均不与顶点重合),当四边形 AEPQ 的周长取最小值时,四边形 AEPQ 的面积是________.
分析：其实质仍是轴对称中的最短路径问题，如图，先确定点 E 关于 BC 的对称点 E 1 ，再确定点 A 关于 DC 的对称点 A 1 ，连接这两个对称点 A 1 E 1 得到所对应的 P,O 的位置再根据△B E 1 P∽△A E 1
A 1 得出相应的线段 BP、CP 的长均为32，从而可求得 S 四边形 AEPQ =S 正方形形 ABCD -S △ADQ - S △PCQ
-S △BEP =1 1 1 992 2 2 2AD DQ CQ CP BE BP
答案：92 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形的内部有两定点与相交线上的两动点形成的四边形的周长最小，只需要分别通过与动点紧邻的点作对应动点所在的直线成轴对称的对应
点，连接两个对应点形成的线段与线的交点即为两动点的位置，而对于周长求解时，常把对应点所连线段放在三角形中解决
练习：
1. 如图,抛物线 y=－x2 +2x+m+1 交 x 轴于点 A(a,0)和 B(b,0),交 y 轴于点 C,抛物线的顶点为 D.下列四个判断:①当 x>0 时,y>0;②若 a=－1,则 b=4;③抛物线上有两点 P(x 1 ,y 1 )和 Q(x 2 ,y 2 ),若 x 1 <1<x 2 ,且 x 1 +x 2 >2,则 y 1 >y 2 ;④点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E,点G,F 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m=2 时,四边形 EDFG 周长的最小值为 .其中正确判断的序号是( )
A.①B.②C.③D.④
2.（2015 达州改编）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，已知 A（0，4）、C（5，0），二次函数245y x bx c 的图象抛物线经过 A，C 两点. （1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 D、E、F、G 构成四边形 DEFG，求四边形DEFG 周长的最小值. 答案：
2. 解：（1）将 A（0，4）、C（5，0）代入二次函数的解析式，得2445 5 55cb c 解得2454bc ，故二次函数的表达式为24 2445 5y x x
（2）如图：延长 EC 至 E′，使 E′C=EC，延长 DA 至 D′，使 D′A=DA，连接 D′E′，交x 轴于 F 点，交 y 轴于 G 点，GD=GD′EF=E′F， （DG+GF+EF+ED）
最小 =D′E′+DE， 由 E 点坐标为（5，2），BC 的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得 D′（-4，4），E（5，-2）． 由勾股定理，得2 2 2 22 1 5, (5 4) (4 2) 3 13 DE D E , 3 13 5 DG GF EF ED （ ）最 小
例：
如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 边的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，当 BP=_____时，四边形 APQE 的周长最小．
分析：要使四边形 APQE 的周长最小，由于 AE 与 PQ 都是定值，只需 AP+EQ 的值最小即可．为此，先在 BC 边上确定点 P、Q 的位置，可在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，则此时 AP+EQ=EG 最小，然后过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点，那么先证明∠GEH=45°，设 BP=x，则 CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE 中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得 x=4．
答案：4 总结：
遇到一条线同侧有两个定点分别记作 A 和 B，在这条线找两个距离一定的动点，使
其组成的四边形的周长最小时，只需要让 A 向 B 所在的这一侧水平移动动点之间的距离得到一个定点记作 C，然后作 B 关于直线的对称点记作 D，然后连接这个对称点 D 和 C 得到这条线与直线的交点（为动点中的一个），再把交点向 A 的这一侧移动动点间的距离即可得到另一个动点 ． 练习：1. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ=3，当 CQ=______时，四边形 APQE 的周长最小．
2. 如图，在边长为 10 的菱形 ABCD 中，对角线 BD=16．点 E 是 AB 的中点，P、Q 是 BD 上的动点，且始终保持 PQ=2．则四边形 AEPQ 周长的最小值为______．(结果保留根号)
3.(2010.天津)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y 辅的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边 OB 的中点. (1)若 E 为边 OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标;
(2)若 E,F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E,F 的坐标.
答案：1. 53 分析：点 A 向右平移 3 个单位到 M，点 E 关于 BC 的对称点 F，连接 MF，交BC 于 Q，要使四边形 APQE 的周长最小，只要 AP+EQ 最小就行，证△MNQ∽△FCQ 即可 2. 7 85
分析:将菱形 ABCD 放置在平面直角坐标系中，使得 B 为原点，BD 在 x 的正半轴上，根据题意得出 A、B、E 三点的坐标，将 A 平行向左移动 2 个单位到 A"点，作 A"关于 x 轴的对称点 F，则 F（6，-6），连 EF，交 x 轴于点 P，在 x 轴上向正方向上截取 PQ=2，此时四边形 AEPQ 的周长最小，AQ+EP=A"P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出结论． 3. 解:(1)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,连接 CD′与 x 轴交于点 E,连接 DE.
(2)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,在 CB 边上截取 CG=2,连接 D′G 与 x 轴交于点 E,在 EA 上截取 EF=2.
篇二：两动一定最小值问题怎么解决
数学之友》2012 年第 24 期 解 索 中考“两定一动”型运动问题解题策略初探 郭艳军 ( 江苏省无锡市 江南 中学 ， 214001) 因为“ 运动” ， 数学才充满了魅力与活力． 中考 中的运动型问题主要 以几何 图形为载体 ， 运动变化 为主线 ， 集多个知识点为一体 ， 集多种思想方法为一 题． 这类题综合性强， 能力要求高， 它能全面考查学 生的实践操作能力 ， 空 间想象能力 以及分析 问题解 决问题的能力． 在饵这类题时， 要充分发挥空间想象 的能力 ， 往往不要 被“ 动” 所迷惑 。
而是要在“ 动” 中 求“静 ” ， 化“ 动” 为“ 静 ” ， 即要 “ 以静 制动 ” ， 把动态 问题变为静态 问题来解． 结合多年的教学实践 ， 笔者 发现初中数学动点 问题 中关于“ 两 定一 动” 型 的问 题是热点题型． 所谓“ 两定一动” 即在“ 两个定点， 一 个动点 ”条件下解决一些运动问题． 在 中考复习时，
笔者对此类问题进行 了梳理 ， 现归类整理如下 ：
1
直角三角形中“ 两定一动’’ 型问题 基本问题 ：
已知线段 AB， 在平面内取一点 P ， 使 得A PAB 为直角三角形．
基本原理 ：
( 1) 如果 AB 为斜边 ， 则点 P 一定在 以 AB 为直 径的圆上( 如图 1)．
1P
图 1
图 2 ( 2) 如图 AB 为直角边 ， 且 A 为直角 ， 则点 P 定在过 A 作 AB 的垂线上( 如图 2) ．
( 3) 如 果 AB 为直 角 边 ， 且 曰为直 角， 则点 P 一定在 过 B ft：
． 一 1B 的垂线上( 如图 3) ．
小结：
在直角三角形中， 因直角 位 的不确定性需要分类讨论， 但 如果三点 中有两个点为定点 ， 则第 三个点可以利用基本原理先确定位置再进行求解．
例 1
( 2008 山 东潍坊) 如图 4 ， o 曰切 Y 轴于 一·74 · 原点 O， 过定 点 A ( 一2 0) 作 0 B 切线交 圆于点 P．
，
／ 5- 已知 tan／ _ PAB = ， 抛物线 J C 经过 A ， P 两点．
( 1) 求o B 的半径；
(2) 若抛物线 C 经过点 B， 求其解析式 ；
( 3) 设抛物线 C 交 Y 轴于点 角三角形 ， 求点 分析与解 ：
，
V
M ‘ ／ 。
D 、 ＼ 、
A 图 4 ， 若 A APM 为直 的坐标．
厅
( 1) 由 tan 怛 = ， 易知 PAB =30。
．
J
连结 即 ， 则 A 设半径为 r， 列方程可求得半径为2 = 90。
． 所 以AB =2PB．
． 1 ．
( 2) Y = 一
+4．
J ( 3) 很多学生都知道 △ A 分类， 但是都无法找全所有的点 两定点 ， 如果运用基本原理 ， 则可 以采用先画图 ， 再 分类 ， 后计算 的解题策略 ， 而且不遗漏．
① 过点 A 作 AP 的垂线 ， 交Y 轴于．
M1( 如图5)．
成为直角三角形要 ， 考虑到A ， P 是 J 、 )，
／ 。＼
肘 ／ P
l ，
M 2 ／ 。D
A
图 5 图 6 ② 过点P 作AP 的垂线， 交Y 轴于点M2(如图6)．
③ 作以 AP 为直径的圆 交 Y 轴于点 鸭 ， 』 l ( 如图 7)．
解答：
显然 P 的坐标为 ( ， 3) ， 由①得 M， (0， 一 6) ；
由② 得 ：
( 0， 6) ； 对于③ 可 结合具体图形具体分析， 此时 ／ _ AM3P = 90。
， 可 以作 P 上，
轴 寸
H ， 构造 A PHM3
M
y (／
A＼ ／
』
i 阁 7
《 数学之友》
2012 年筇 24 △
3 ．
设 ( O， 1 1 " I ,) ， 则 朋 = ，
鸭 = m 一 3， AO =2 ，
=m．
·．‘A PHM3"~ A M30A ， ． ． ．
= ．
．．．,一3-m
：
．．． m 一3 m ：6 ．
2 ,／ 3 解得 m。
：
， m ：
( 舍去 ) ．
对于 眠 同理可得 m ：
，
所以把刚才舍去的解捡回．
综上所述 ，
的坐标为 M， ( 0， 一6) ，
M 3 (0 ， )， 眠 (0，点评：
本题 A AMP 中有两个定点 ， 如何寻找 第
三个点 ， 使其成为直角三角形对 学生而言， 综合性较 强， 难度较大， 但如果 用基本原理求解， 即可快速找 到 ， 问题也迎刃而解．
( 0， 6) ，
)． 2等腰三角形中“ 两定一动” 型问题 基本问题 ：
已知线段 A PAB 为等腰三角形．
基本原理 ：
( 1) 如果 A 为底 ， 则点 P 一定在 A 的垂直平 分线上( 如图 8) ．
／
‘＼
， 在平面内取一点 P ， 使 A P
圈 8 图 9 (2) 如果 AB 为腰 ， 且 在以点 ／ l 为圆心， AB 长为半径的圆上( 如图9) ，
(3) 如果 LiB 为腰 ， 且 ／ B 为 顶角， 则点 P 一定在以点 心， AB 长 为半径 的圆 上 ( 如 图 Io)．
小结 ：
在等腰三角形中 ， 因 腰和底不确定需要分类讨论．
在讨论时如果等腰三角形的三个顶点中两个顶点是 定点， 可以用基本原理精确找到， 然后求解 ， 情况不 会遗漏．
A 为顶角 ， 则点 P 一定 为圆 图10
例 2 ( 2012 四川 乐 山) 如图， 在平面直角坐标 系中， 点 A 的坐 标为 ( in，
m) ， 点 的坐标为 ( n，一
聘 ) ， 抛物线经过 A ， D，
点 ， 连接 O A ， OB ， AB ， 线段 AB 交 Y 轴于点 e 已知实 数 m， n( m < n) 分别是方程 ( 1) 求抛物线的解析式 ；
(2) 若点 P 为线段 OB 上 的一个动点 ( 不 与点 0 ， B 重合) ， 直线 PC 与抛物线交于 D ，
在 Y 轴右侧 ) ， 连接 OD ， BD．
① 当△ OPC 为等腰三角形时， 求点P 的坐标；② 求ABOD 面积的最大值， 并写出此时点 D 的坐标．
分析与解 ：
( 1) 解方程 得 1=3，
2= 一1．
三 J
D 图 11
一 2x 一 3 =0 的两根．
两点( 点 D
一 2x 一 3 =O，
．。
m<n， ． ’． rn= 一l ， n =3． ． ‘． A( ～1， 一1) ， B(3， - 3)．
‘．‘抛物线过原点 ，
设抛物线 的解析式为 Y = ax。+ -1 一 ,3 ． 解 得 {二
。．
．
【 1 ．·．{9 a 口 -+ b 3 = 6 ：-T" 一。
‘ ．·．抛物线的解析式为 Y = 一
+ ．
( 2) ① 可运 用几何法． 由于点 P 在 OB 上， 且 0 ， C 为两定点， 可以考虑先画图， 再分类 ， 后计算 的 解决策略．
( i ) 作 OC 的垂直平分线交 OB 于点 P ， 连结 P， C ( 如图 12) ．
D
E ＼ ， ‘ C ／ ＼ i y
、
c
图 12 图 13 ( ii ) 以 0 为圆心 ， OC 长为半径画圆， 交 OB 于 点 P ， 连结 c， 】
( 如图 l3) ．
( iii ) 以 C 为 圆心 ， CO 长为半径 画圆， 交 OB 于点 P ( 如图 14) ．
显然 由( i ) 得 ， P 0 ：
P C； 由 ( ii ) 得 ， OC ：OP2；
_
O
／
( c 二= = =
·75 ·
《 数学之友) 2012 年第24 期 由( iii ) 得， CO = CP ． 接着 ， 司结合 图形 ， 分类讨论 再求出尸点坐标， 此时要注意具体问题具体分析 解 答 ：
可 求 直 线 A B的 解 析 式 为 y：
一
(o ， 一 吾 )．一 寻 ． ．·．cA~ ‘．‘直线 OB 过点 o( o， 0) ， B( 3， 一 3) ，
．·． 直线 OB 的解析式为 Y= 一
．
·．。点 P 在线段 OB 上， ． 。
． 可设 P(p ， 一 p)．( i ) 当 P 0 =P。
c 时，
·．。P E 垂直平分 OC， Pl0 = P1c ，OE = IOC= ’ ．3 ．·．．·．P
(÷， 一 手 )．
( ii ) 当OP2=OC 时， OP2=OC=÷ ，
。
=学 一学(舍 去 )． ( iii ) 当 CO = CP3时 ，
COB =45。
．
．· =丢． ．·．P ：
(学， 一
)．·．
B ( 3， 一 3) " ． ． ．
’．。CO = CP 3 ， ． ‘ ．／ __ COP 3 = CP 30 = 45 。
．
．·．Z ． O C P 3=9 0。
． ． ． ． O C=cP 3=丢 ．．·．P ， (寻 ， 一 寻 )．
② 过点 D 作 DG上
轴 ， 垂足为 G， 交 OB 于 Q，
过 B 作 BH 上
轴 ， 垂足为 H 设 Q ( ， 一
D (戈 ， 一
1
2+
)．S BoD= S zxoDQ+ s B DQ
：
Q ． OG +—
Q ． GH
=一手 ( 一 吾 ) +
．=3 ~, -t·．， O< < 3， ． ·． 当 ，
J s取 得 最 大 值 为
， Jk [ S l ~D (3
， 一 i3)．
点评 ：
纵观 中考数学等腰三角形的存在性 问题 ，
“ 两定一动” 型考查得较 多， 此类题 目多涉及 到运用 勾股定理 ， 因此对学生而言 ， 综合性较强 ， 难度较大，
很多同学对于符合条件的动点难以找全， 从 而失分，
如果能抓住基本图形 ， 用基本原理寻找 ， 则会大大增 强他 们 的 解题 信 心．
·76 · 3轴对称性求最值中“ 两定一动型” 问题 基本问题 ：
如图 l5， 已知两点 A ， B 及直线 e； 在 2
上寻找一点 P ， 使AP +朋 最小．
基 本 原 理 ：
作 A ( 或 B) 关于直线 Z的对称点 A ( 或 B ) ， 连 结 A B ( 或 AB ) 与直 c 的交点即为点 P．
小结：
在利用轴对称性求最值问题中“ 两定一 动” 型出现的频率很高， 学生只要善于发掘条件， 抽 象出基本图形 ， 解决问题便会得 f l,应手 ， 游刃有余．
例 3 (2011 贵 州安 图 l5 1 顺 ) 如图 16 ， 抛物线 Y =—
厶
+ 点 ， 与 Y 轴 交 于 C 点 ， 且 A ( 一1， 0) ．
( 1) 求抛物线 的解析式 及顶点 D 的坐标 ；
(2)判断A ABC 的形状， 证明你的结论；(3) 点 (m， 0)是 轴上的一个动点， 当 CM + DM 的值最小时， 求 m的值．分析与解 ：
(1)‘． ’ 点A( 一 1， o)在抛物线Y=÷
+ 一 2上，
一 2 与 x 轴交于 A ， B 两 J y |
_
1 ． ’／ 。G
‘＼
|
D
图 16
．·．
点代人， 解得 6 = 一 一．3 。·． 抛 物 豉 的 解 析 式 为y：
z一
一 2． Y：
一
一
一 2：
专 ( 2— 3
一 4) L
叫
=丢 ( 一 丢 ) 一 等 ．
．·．顶 点 D的 坐 标 为 (寻 ， 一 警 )．( 2) 当 =0 时 ， Y = 一 2 ， ．
． c (o ， 一 2) ， 0C =2．
当 ， ， ：
0 时 ，
：
一
3 —2 ：0．
．-．
I = 一1，
2=4． ． ‘． B (4 ， 0) ．
．·． OA ：1 ， OB = 4 ， A B = 5 ·．‘AB
25 ， AC = OA + OC = 5 ，
B C = OC + OB = 20 ．
．·．AC 。+ BC
= AB - ． _．A ABC 是直角三角形．
是两个定点 ， M 是 ( 3) 考虑到 c ，
个 动 点 ， 可 以利用基 本 图形 寻找 点 轴上 的一
《 数学之友》
2012 年第 24 期 解答：
如图 l7， 作出点 c 关于 轴的对称点 c ，
则 C (0， 2) ， OC 2， 连接 c D 交 轴对称性及两点之间线段最短可知 MC + MD 的值．
解法一：
设抛物线 的对 称轴交 轴于点 E
轴于点 ， 根据 ·．‘ED／ ／ y 轴，
o C
M ：
．
E D M ．
C Fo M = 乙D E M ．
．’． △ C ’ o M DE M．
．
一 ’ 。E M ‘—E D ‘ Y
r
^ l W
E
／
、A
毯
图 17 ·‘ 一 一‘·m
开 一m
解法二 ：
设直线 C D 的解析式为 Y = 则 f 3
一2 — 5解
则 {
【
¨凡
一
+ n，
2 ， k：
一
．解 得 凡 =， =一
．．’
一参+2 ．．·．当 )， =o 时， 一
+ 2 - 0，
24．·．m=
．
P )
点评 ：
利用轴对称性能很好 的解决线段 的最值 问题 ， 特别是“ 两定一动” 型求线段 和的最值在各种 问题 中 反复出现， 如果学生能在复杂图形中识别出
“ 两定一动型” 求线段和的最值的基本 图形， 这类问
题可以手到擒来．
动点问题是中考热点 ， 解决这一类题 ， 关键是要 把动态问题转化为静态 问题来解决 ， 要把寻找运动 中的不变量作为解决问题的突破口， “ 两定一动” 型 问题中两个定点是运动 中的不变量 ， 学生要善于捕 捉基本 图形 ， 重视基础知识和基本技能的培养训练 ，
这样符合题意的动点可 以快速而又不遗漏的找到，
大大提高解题的正确率．
参考文献 ：
[ 1] 学之友 ， 2012， (20) ．
[ 2] 状分析与建议[ J ] ． 数学教 育学报 ， 20 3 2， 21( 4) ：
60 陈文． 跌宕的习题进行的能力[ J ] ． 数 张琥． 新课标高 中数学教材 习题教学 现 —63 ．
[3] 宁连华． 数学探究学习论[ M] ． 北京：
高 等教育出版社 ， 2008．
( 上接 第 73 页) 而在图 2 中， 以点 F 为坐标原点 ， 以过点 F ， Z的 垂线 为 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系， 同 理 可 得 J x +Y = l 一( 一 p) l ， 化简后得到 P 点的轨迹方 程为 Y =2 +P ．
其实这两种不同的建系方式得到的也是抛物线 的方程 ， 但对比一下两者的形式 ， 它们有极其相似 的 特征 ， 区别仅仅在表达式的常数项上． 那么两者又为 什么会有这区别? 建系方式不 同所致． 所 以我们可 以思考一下 ， 能不能通过调整建立坐标系的方式 ， 得 到一个形式更为“ 完美” 的抛物线的方程? 通过这样 的提问和思考，
学生 自然而然就想到图 2 的建 系方式：
以过点 F ， f 的垂线为 轴 ， 以 F 到 2的垂线段 的中点 为原点， 建立平面直角坐标系，
——■
一 则 动 点P满 足 √(
一 等) +y2
F
D
(争1 0)
1 2_
图 3 =l 一 ( 一 等l I， 化简后得到了P 点的 轨迹为y2= J 、
， I 2px． 事实验证了 ：
在这样 的建系方式下 ， 抛物线的方 程形式上更 为 “ 完美 ” 了． 这样就顺 利解决 了问题 ( 2) ， 把学习中探索和发现 问题的主动权交给学生 ，
让学生在 实践的过程 中体会数学 的合理 性和简洁 美． 多一点尝试、 多一点思考 ， 数学就会变得更加有 趣、 生动了．
参考文献 ：
[ 1] 之友 ， 2012， ( 8) ．
[2] 的调查研究 [J ]． 数学教育学报， 2010， 19 ( 5) ：
71
72 ．
盛邦南． 解题反思 的意外生成 [ J ] ． 数学 徐彦辉． 高中生数学理解性学习内隐观 —[3] 宁连华． 数学决策及其教学研究[J ]． 数 学教育学报 ， 2009， l8( 6) ：
32 — 35．
·77 ·
篇三：两动一定最小值问题怎么解决
点三角形周长最小值问题探索■ 王震伟作者简介:王震伟(1978 －)，男，本科，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究摘要:近年来，最值问题频繁出现在中考压轴题中． 在初中阶段，最值问题一直是个难点也是一个重点，它要求学生具有很强的问题分析能力与综合运用数学知识、数学思想方法解决问题的能力． 本文根据2015 年沈阳市中考题中的压轴最值问题，结合自己的理解，对这类最值问题的解题教学进行了深入的探究．关键词:压轴;最值;动点;浅入深出一、试题展示及解答题目:(2015 年沈阳中考第 25 题)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y = －23x 2 －43x +2 与x轴交于B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D．(1)填空:点 A 的坐标为( ，)，点B 的坐标为( ， )，点C 的坐标为 ( ，)，点 D 的 坐 标 为 (， )．(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B、C 重合)① 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE =PC，求点 E 的坐标;② 在 ① 的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F到 EA 和 ED 的距离相等，请直接写出线段 EF 的长;③ 若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点Ｒ是线段AC上的动点(点Ｒ不与点A、C重合)，请直接写出 △PQＲ 周长的最小值．原题解答:(摘自网络)这里我们重点研究最后一小问．答案:(1)0、2，－3、0，1、0，－1、83;(2)①E(－32，图 1图 252);②32或52;③槡32 6565．对于最后一小问，网上给出的解答如下． 根据题意:当 △PQＲ 为 △ABC 的垂足三角形时，周长最小，所以 P 与 O 重合时，周长最小，如图2，作 O 关于 AB 的对称点 E，作 O 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AB 于点Q，交 AC 于 Ｒ，此时 △PQＲ 的周长 PQ + QＲ + PＲ =EF，因为 A(0，2)，B(－ 3，0)，C(1，0)，所以 AB =2 2 + 3槡2=槡 13，AC =1 2 + 2槡2= 槡 5，因为S △AOB =12×12OE × AB =12OA × OB，所以 OE =12槡 13，因为△OEM ∽ △ABO，所以 OMOA=EMOB=OEAB，即OM2=EM3=12槡 13槡 13，所以 OM =2413 ，EM =3613 ，所以 E(－2413 ，3613 )，同理求得 F(85，45)，即 △PQＲ 的最小值为 EF =(85+2413 )2+ (3613－45)槡2=槡32 6565．二、究问题之本 研解题之道上述问题是 2015 年沈阳中考的压轴题，做了以后感觉这个问题内涵丰富，值得研究，从而使得笔者对这一类问题有了更深的理解． 不管是学生还是老师，笔者· 5 ·认为拿到这个题目都有点束手无策，究其原因，其表面现象由三个动点求最小值，这种气势颇为吓人． 分析以后发现，对于这个问题，上面网络的解析，我感觉没能站在学生的角度分析，就算学生看了答案估计一些学生也不知所以然．“垂足三角形”这个概念不要说学生，就是没搞过奥赛的教师也许知道的也不多． 其实这个问题的本质考点是利用轴对称知识点进行转化后求最值．下面就笔者对本题的理解，结合若干小问题浅入深出的谈谈解题之道．问题1:如图3，P 为∠AOB 内部一点，试在OA，OB上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小．编制意图与简析:问题 1 比较简单，是一定两动三角形周长的最小值问题，只要化曲为直即可，所以利用对称，分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P 1 ，P 2 ，连接P 1 P 2 与 OA，OB 的交点就是 E，F． 如图 4，此时 △PEF的周长最小，最小值就是线段 P 1 P 2 的长． 编制的意图是让学生理解一定两动三角形周长最小时，E，F 确定的原理．图 3图 4问题 2:如图 5，若 ∠AOB = 45°，OP = 3，在 OA，OB 上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．编制意图与简析:在问题 1 的基础上编制的问题2，它的求解目的性比较强，就是要利用现有的边和角求出线段P 1 P 2 的长． 如图6，易得△OP 1 P 2 为等腰直角三角形，所以 P 1 P 2 =槡3 2．编制的意图是要学生理解对称的性质，对应边相等，对应角相等，从而将问题转化成求一个腰长已知的等腰直角三角形的斜边长．图 5图 6变式1:∠AOB = 45° 不变，P不是定点，是∠AOB内一动点，且 OP = 3，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值． 思考，最值变吗?作图后易得答案仍然为槡3 2，由此可见，当 ∠AOB确定，OP 长确定，最值不变．变式2:∠AOB = 45° 不变，P 不是定点，是 ∠AOB内一动点，且 OP = a，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值． 思考，最值变吗?答案为 槡 2a，由此可见，当 ∠AOB 确定时，此问题的最值和动点 P 到 O 的距离有关，它是随 a 变而变．变式 3:OP = 3 不变，若 ∠AOB 的正切为12，在OA，OB 上各找一点，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．答案为槡6 55，由此可见，当 OP 确定时，此问题的最值和 ∠AOB 的大小有关，它是随 ∠AOB 变而变．编制意图与简析:问题 2 及其变式，是以控制变量法探究一定两动三角形的最小值问题． 通过这一系列问题的解答，可以感受到当 ∠AOB 确定，OP 确定，则P 1 P 2 就是以OP为腰，2 倍∠AOB为顶角的等腰三角形的底边长，所以 P 1 P 2 也是确定的． 这样就将一个一定两动三角形周长最小值问题转化成了解已知顶角和腰长求等腰三角形底边长的问题了．所以这类问题的最值 l 就和定角 α 及角内定点(或动点)到角的定点距离 m 有关(如图 7)． 通过研究，我们可以得到一个非常简洁的结论为l = 2sinα·m(0 ＜ α ＜ 90°)问题 3:已知如图 8，∠AOB 的正切值为34，OC =· 6 ·
图 7图 85，OD = 6，P 为线段 CD 上一动点，E、F 分别是 OA，OB的动点，求 △PEF 周长的最小值是多少?编制意图与简析:根据以上问题 1 和 2 的分析，问题 3 也就不难理解了． 本题的角是确定的，所以，OP 什么时候最小，三角形周长就什么时候最小，即当 OP 垂直于 CD 时． (解略)下面我们再看 2015 年沈阳中考最后一题的最后一问，理解后的答案为 S △PQＲ = 2BC ·sin∠ABC ·sin∠ACB = 2 × 4 ×2槡 13×2槡5=槡32 6565． 这里笔者是以 ∠ACB 为定角来研究最小值的．图 9到这读者应该还有一个疑问，为什么以 ∠ACB 为定角来研究最小?是不是该分类讨论?在不知道什么垂足三角形的前题下，应该有这个疑问． 请看图 9 证明．2AE · sin∠BAC = 2AC ·sin∠ACB·sin∠BAC = 2AB·sin∠ABC·sin∠BAC．2BD·sin∠ABC = 2AB·sin∠BAC·sin∠ABC =2BC·sin∠ACB·sin∠ABC． 2CF·sin∠ACB = 2AC·sin∠BAC·sin∠ACB = 2BC·sin∠ABC·sin∠ACB． 所以 2AE · sin∠BAC = 2BD · sin∠ABC = 2CF ·sin∠ACB． 也就是无论从哪个角思考都可以，它们的结果是一样的，所以笔者找了最好算的一个方向．三、教学启示数学中考仍是以定量评价全面考察学生数学学习全过程的重要方式． 而压轴题不仅注重考察学生对数学概念的理解，数学思想方法的掌握，而且其对数学思考深度，探究与创新的水平及应用数学解决实际问题的能力有更高要求从而发挥甄别与选拔功能． 最值问题作为压轴题一直是困扰教师和学生的难点，本文针对 2015 年沈阳中考的压轴最值问题，进行了浅入深出的分析． 将较为复杂的动点最值问题，通过理解，编制了一组问题窜，使问题变得清晰明了．综合题学生不会做的原因是知识点不熟，不会分析． 其实老师都知道一个综合题是由若干个知识点拼在一起组成的，如果在解题时哪句话没理解或哪个知识点没想起来，那么这个综合题也就卡在那了． 所以平时老师对综合题的教学绝不能就题论题，解一题是一题． 我们更应该看到问题的本质，从源头去讲解，看看这个题能不能变“个案”为“类案”，能否研究出这类题的解题通法，也就是我们老师平时常说的举一反三．“浅入深出”是笔者一直思考和实践的教学模式，这能充分调动学生学习的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力．［江苏省常州市武进区马杭初中 (213162 )］· 7 ·
篇四：两动一定最小值问题怎么解决
热点问题 ” 双动点问题 ” 的处理方法总结动点问题是中考数学必考的重难点问题，大多数同学都是 “ 谈动色变 ” ，选择直接放弃的更是大有人在。
解决动点问题，大家一定不要被其 “ 动 ” 所吓倒，我们要充分发挥空间想象能力， “ 动 ” 中求 “ 静 ” ，化 “ 动 ” 为 “ 静 ” ，利用已知条件和所学知识点，寻找和所求相关的不变量和确定关系，这样，题目就化难为易了。
动点问题一般分为点动、线动和面动这三种类型，本节我们主要学习两类较难的动点问题。
一. . 不关联双动点问题
对于不关联的双动点问题，我们采用 “ 控制变量法 ” ，我们先控制其中一个点不 动，分析另一个点运动轨迹，之后再让这个点运动起来，这样我们可以使问题更直观，思路更清晰。
我们先来看一道例题：
例 例 1. 如图，C RT△ABC 中， AC=3， ， AB=4， ，D D、 、E E 分别是 AB、 、C AC 上的两个动点，将 △ADE沿着 E DE 翻折，A A 点落在 A′ 处，求 C A′C 的最小值。
【简答】首先，我们固定 D D 点不动，使 E E 点动起来，随着 E E 点的运动， A′ 始终在以 D D 为圆心，A DA 为半径的圆上运动（如图 1 1 ），
图 图 1 1
只有当 C C 、 A′ 、D D 三点共线时，C A′C 是最短的（如图 2 2 ）；
图 图 2 2
然后我们让 D D 点也动起来，随着 D D 点的运动，圆 D D 的半径会发生 变化，圆的半径越大，离 C C 点就越近，因此，当 D D 与 与 B B 重合时，圆离 C C 点的距离最近，再，移动 E E 点，使得 A′ 落在 C BC 上，此时 C C 、 A′ 、D D 三定共线（如图 3 3 ）， CA′ 最小为 5 5− − 4=1.
图 图 3 3
二. . 多动点联动问题
对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样减少了动点的个数，使得问题简单化。（原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息）
如下面这道天津中考题的最后一问。
例 例 2. 在平面直角坐标系中，四边形 C AOBC 是矩形，点 O O 的坐标为（0 0 ，0 0 ），点 A A的坐标为（5 5， ，0 0 ），点 点 B B 的坐标为（0 0， ，3 3）
）. . 以点 A A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC ，得到矩形 ADEF ，点 O O ，B B ，C C 的对应点分别为 D D ，E E ，F F ．
（1 1 ）如图 ① ，当点 D D 落在 C BC 边上时，求点 D D 的坐标. .
（2 2 ）如图 ② ，当点 D D 落在线段 E BE 上时，连接 AB ，D AD 与 与 C BC 交于点 H.
① 求证：
△ADB≌△AOB ；
② 求点 H H 的坐标. .
（3 3 ）记 K K 为矩形 C AOBC 对角线的交点，S S 为E △KDE 的面积，求 S S 的取值范围（直接写出结果即可）. .
例 例 3. 直线 l l 外有一点 D D ，点 D D 到直线的距离为 3 3 ，让腰长为 2 2 的等腰直角三角板C ABC 在直线 l l 上滑动，则 则 D AD+CD 的最小值为
. .
练习反馈: 1.
点 点 P P 是∠B AOB 内部一点，在 A OA 上找到一点 M M ，B OB 上找到一点 N N 使得三角形N PMN 的周长最小
2.
如图所示，点 P P 是∠B AOB 内任意一点， OP=5cm ，点 M M 和点 N N 分别是射线 A OA 和射线 B OB 上的动点，△N PMN 周长的最小值是 5cm ，则∠B AOB 的度数是（
）
3.
如图所示，已知点 C C （1 1 ，0 0 ），直线 y= ﹣7 x+7 与两坐标轴分别交于 A A ，B B 两点，D D ，E E 分别是 AB ，A OA 上的动点，则E △CDE 周长的最小值是 ________ ．
4 4. .
如图，已知直线2 1 //ll ，直线之间的距离为 8 8 ，点 P P 到直线1l 的距离为 6 6 ，点 Q Q到直线2l
的距离为 4 4 ， PQ= 30 4 ，在直线1l 上有一动点 A A ，直线2l 上有一动点 B B ，满足 AB ⊥2l ，且 Q PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ=
5 5. .
如图，∠ AOB=30 °，点 M M 、N N 分别在边 OA 、B OB 上，且 OM=1 ， ON=3 ，点 P P 、Q Q分别在边 OB 、A OA 上，则 N MP+PQ+QN 的最小值是 _____ ．
6 6. .
如图，在等边三角形 C ABC 中， BC=6cm ．射线 AG ∥ BC ，点 E E 从点 A A 出发沿射线G AG 以 以 s 1cm/s 的速度运动，同时点 F F 从点 B B 出发沿射线 C BC 以 以 s 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 t.
（1 1 ）连接 EF ，当 F EF 经过 C AC 边的中点 D D 时，求证：△ ADE ≌△ CDF ；：
(2)①当 当 t t 为s ______s 时，四边形 E ACFE 是菱形；
②当 t t 为s ______s 时，以 A A 、F F 、C C 、E E 为顶点的四边形是直角梯形．
7 7. .
在菱形 D ABCD 中，∠ B=60 °，点 E E 在射线 C BC 上运动，∠ EAF=60 °，点 F F 在射线 线 D CD 上
（1 1 ）当点 E E 在线段 C BC 上时（如图 1 1 ），求证：
EC+CF=AB ；
（2 2 ）当点 E E 在 在 C BC 的延长线上时（如图 2 2 ），线段 EC、 、 CF、 、B AB 有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明．
8.
如图 1 1 ，二次函数 y= ﹣x x2 2 c+bx+c 的图象过点 A A （3 3 ，0 0 ），B B （0 0 ，4 4 ）两点，动点P P 从 从 A A 出发，在线段 B AB 上沿 B A→B 的方向以每秒 2 2 个单位长度的速度运动，过点P P 作 作 y PD⊥y 于点 D D ，交抛物线于点 C C ．设运动时间为 t t （秒）．
(1) 求二次函数 y= ﹣x x2 2 c+bx+c 的表达式；
(2) 连接 BC ，当 t= 时，求P △BCP 的面积；
(3) 如图 2 2 ，动点 P P 从 从 A A 出发时，动点 Q Q 同时从 O O 出发，在线段 A OA 上沿 A O→A 的方向以 1 1 个单位长度的速度运动．当点 P P 与 与 B B 重合时 ，P P 、Q Q 两点同时停止运动，连接 DQ， ， PQ ，将Q △DPQ 沿直线 C PC 折叠得到 △DPE ．在运动过程中，设E △DPE 和 △OAB重合部分的面积为 S S ，直接写出 S S 与 与 t t 的函数关系及 t t 的取值范围．
篇五：两动一定最小值问题怎么解决
20 年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题专题一
将军饮马 中 两定一动模型与最值问题 【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在 中， ， 是 的两条中线，是 上一个动点，则下列线段的长度等于 最小值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【详解】
在 中， ，AD 是 的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于点 P，此时 最小，为 EC 的长，故选 B. 2、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．
【答案】10 【详解】
解：如图：
连接 DE 交 AC 于点 P，此时 PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形 ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，
在 Rt△ ADE 中，根据勾股定理，得 DE＝2 2AD AE
＝2 28 6
＝10． ∴PB+PE 的最小值为 10． 故答案为 10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 BC 交 x 轴于点 D ， AD x 轴，反比例函数 ( 0)ky xx 的图象经过点 A ，点 D 的坐标为 (3,0) ， AB BD ． （1）求反比例函数的解析式； （2）点 P 为 y 轴上一动点，当 PA PB 的值最小时，求出点 P 的坐标．
【答案】（1）9yx ；（2）12(0, )5 【详解】
解：（1）∵ OABC 是矩形， ∴90 B OAB ， ∵ AB DB ， ∴45 BAD ADB ， ∴45 OAD ， 又∵ AD x 轴， ∴45 OAD DOA ， ∴ OD AD ， ∵ (3,0) D
∴ 3 OD AD ，即 (3,3) A
把点 (3,3) A 代入的kyx 得， 9 k
∴反比例函数的解析式为：9yx ． 答：反比例函数的解析式为：9yx ．
（2）过点 B 作 BE AD 垂足为 E ， ∵90 B ∠， AB BD ， BE AD
∴1 32 2AE ED AD ， ∴3 932 2OD BE ， ∴9 3( , )2 2B ， 则点 B 关于 y 轴的对称点19 3( , )2 2B ，直线1AB 与 y 轴的交点就是所求点 P ，此时 PAPB 最小， 设直线 AB 1 的关系式为 y kx b ，将 (3,3) A ,19 3( , )2 2B ，代入得， 3 39 32 2k bk
解得：15k ，125b ， ∴直线1AB 的关系式为1 125 5y x ， 当 0 x 时，125y ， ∴点12(0, )5P
答：点 P 的坐标为12(0, )5．
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2 +2x+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点 M，使△ BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x 2 +2x+3；直线 AC 的解析式为 y=3x+3；（2）点 M 的坐标为（0，3）； （3）符合条件的点 P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）， 【详解】
解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3）， 即 y=ax 2 ﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得 a=﹣1， ∴抛物线解析式为 y=﹣x 2 +2x+3； 当 x=0 时，y=﹣x 2 +2x+3=3，则 C（0，3）， 设直线 AC 的解析式为 y=px+q， 把 A（﹣1，0），C（0，3）代入得03p qq ，解得33pq ， ∴直线 AC 的解析式为 y=3x+3； （2）∵y=﹣x 2 +2x+3=﹣（x﹣1）
2 +4， ∴顶点 D 的坐标为（1，4）， 作 B 点关于 y 轴的对称点 B′，连接 DB′交 y 轴于 M，如图 1，则 B′（﹣3，0），
∵MB=MB′， ∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时 MB+MD 的值最小， 而 BD 的值不变， ∴此时△ BDM 的周长最小， 易得直线 DB′的解析式为 y=x+3，
当 x=0 时，y=x+3=3， ∴点 M 的坐标为（0，3）； （3）存在． 过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，
∵直线 AC 的解析式为 y=3x+3， ∴直线 PC 的解析式可设为 y=﹣13x+b， 把 C（0，3）代入得 b=3， ∴直线 PC 的解析式为 y=﹣13x+3， 解方程组22 3133y x xy x ＝＝，解得03xy 或73209xy ，则此时 P 点坐标为（73，209）； 过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，直线 PC 的解析式可设为 y=﹣ x+b， 把 A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得 b=﹣13， ∴直线 PC 的解析式为 y=﹣13x﹣13， 解方程组22 31 13 3y x xy x ＝＝，解得10xy 或103139xy ，则此时 P 点坐标为（103，﹣139）.
综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 5、如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点 0 (1 ) A ， , (50) B ， , 4 (0 ) C ， ．
（1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）
P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA PC 的值为最小的点 P 坐标（请在图 1 中探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点 E ，使四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为 12 的平行四边形？若存在，请求出点 E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图 2 中探索）
【答案】（1）2545442y x x ＝ ，函数的对称轴为：
3 x＝ ；（2）点8(3 )5P ， ；（3）存在，点 E 的坐标为12(2, )5-或12, )5(4 - ． 【详解】
解：
1 （）
根据点 0 (1 ) A ， , (50) B ， 的坐标设二次函数表达式为：
21 5 6 5 y a x x a x x ＝ ﹣ ＝ ， ∵抛物线经过点 4 (0 ) C ， ， 则 5 4 a＝ ，解得：45a＝ ， 抛物线的表达式为：
22 24 4 16 46 5 3 45 5 5 5245y x x x x x ＝ = ＝
， 函数的对称轴为：
3 x＝ ； 2 （ ）
连接 B C 、 交对称轴于点 P ，此时 PA PC 的值为最小，
设 BC 的解析式为：
y kx b ＝ ， 将点 B C 、 的坐标代入一次函数表达式：
y kx b ＝ 得：0 5,4k bb
解得：4, 54kb 直线 BC 的表达式为：4y x 45 ， 当 3 x＝ 时，85y＝ ， 故点835P （ ，）
；
3 （）
存在，理由：
四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为 12 的平行四边形， 则 5 12E E OEBFS OB y y 四边形＝ ＝ ＝
， 点 E 在第四象限，故：则125Ey ＝- ， 将该坐标代入二次函数表达式得：
24 126 55 5y x x ＝ ＝- ， 解得：
2 x＝ 或 4 ， 故点 E 的坐标为122,5（ - ）
或12,5（4 - ）
．
篇六：两动一定最小值问题怎么解决
常见动点问题解题方法引言
以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.
常见的动点问题
一、求最值问题
二、动点构成特殊图形问题
一、 求最值问题
初中 利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：
（1）两点之间线段最短；
（2）三角形两边之和大于第三边；
（3）垂线段最短。
求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
一、 求最值问题
例、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边 三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P， 使PD+PE的值最小，则其最小值是 ______
一个动点 特点：
已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一
动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。
思路：
解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点，
连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点
满足最值的位置。
考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等
边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称
点就在这个图形上 。
3 2p
练习 1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2， 当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°
B.22.5°
C.30°
D. 45°
2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，
BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得 最小值时，△APD中AP边上的高为 _________
3、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C 在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上 的一动点，则PA+PC的最小值是________
两个动点（一）
特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，
分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。
思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称
点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同
一直线上来解决。
例 、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________
。
RQPOB A "P"PE F 例 、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________
。
解析：
" P " P 连接 与OB，OA的交点即为R、Q 过OB作P的对称点 " P连接 O " P， O " P" P过OA作P的对称点 90° ° " P " P ∴△PQR周长的最小值= = 2 10O " P = O " POP= " P " P由对称性知：
PR+PQ+RQ= " P " P∠ O = =10 ｛
练习 1. 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内 部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB 上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）
A．30°
B.45°
C.60°
D.90°
2. 如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2， 若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN 的周长最小为（ ）
A．2√6
B.6
C. √6/2
D. √6
两个动点（二）
特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共
线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距
离和最小值。
。
思路：（1 1 ）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动
点的对称点与定点的连线段上（ 两点之间线段
最短 ）
例
、 如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 ________ （ 2 2 ）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例
、 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 ________ C D M B N A "NC B D "NM N A 解析：
作点N关于AD的对称点 "N此时BM＋MN＝BM＋M "N要使BM＋M
"N 最小 则要满足：① B，M， 三点共线 "NBM+MN的最小值＝ B
=AB ∴ ÷ ４
②B 垂直于 AC "N"N
练习
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4， ∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________
2. 在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°， ∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _________ ．
小结
以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线” （1）确定被“搬”的点 （2）确定被“移”的线
二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。
A B C D
如图：梯形ABCD中，AD//BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发， 沿着AD的方向向终点D以每秒一个 单位的速度运动，当点P在AD上运 动时，设运动时间为t，求当t为何值 时，四边形APCB为平行四边形.
P 问题导入 A B C D P 解析 6 t ∵四边形APCB为平行四边形 ∴
AP=6
t=6
动点构成特殊图形解题方法
4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，
找出等量关系列出方程来解决动点问题
2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意
的图形——— 化动为静 3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决
问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来
1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状
态时几何元素的关系，以及可求出的量
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5
，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果 能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 请说明理由.
3例题讲解
（1）求证：AE=DF
解析：
A EDFt 2t t C B 又∵AE=t，∴AE=DF。
在△DFC中， ∵∠DFC=90 o o ，∠C= 30 o o ， DC=2t, ∴DF=t
30 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
3
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. A EDFt 2t t C B 解析：
能，理由如下， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴四边形AEFD为平行四边形。
由（1）知AE=DF ∴AE
DF 在Rt△ABC中， 设AB=x,
则AC=2x, ∵
解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10.
∴若使平行四边形AEFD为菱形， 则须AD=AE，即t= 10
-2t,
t=
即当t=
时，四边形AEFD为菱形。
30 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
331031010- - 2t
2 2 2AB BC AC 2225 3 2 X X ∴ ∥
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B
若∠EDF=90 o 时，则四边形EBFD为矩形
30 o o
10- - 2t
解析 在Rt△AED中， ∵∠ADE=∠C=30 o ,
∴AD=2AE 即10-2t=2t,t= 30 o o
①当∠EDF=90 o 时 1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
3
即10-2t=
t （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B ②当∠DEF=90 o 时 解析：
由（2）知EF∥AD ∴∠ADE=∠DEF=90 o
∵∠A=90 o -∠C=60 o
∴AD=
AE 2121则t=4 10- - 2t
30 o o
60 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
F（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. ③当∠EFD=90 o 时, 此种情况不存在。
解析：
1单位/ s 2单位/ s 5 30 o o
综上所述，当t= 25或t=4时△DEF为直角三角形 A EDC B 30 o o
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
小结
篇七：两动一定最小值问题怎么解决
识引入 如图，已知动点P 在直线L 上运动，点M 、N 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 分析：根据三角形两边之和大于第三边易知，当且仅当P P 、M M 、N N
三点共线时 |PM|+|PN| 取最小值
为 为|MN| 例：直线L ：y=x ，点M(1,3) 、点N(2,1) 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 答案：5
思考：当 当M 、N 在直线L 同侧时又该如何 ？
答案：5 结论：在平面中，直线上动点 与异侧两定点距离和有最小值， 当且仅当三点共线取得最小值，最小值为两定点 间的距离
当定点为同侧时，先做出其中一点的对称点， 再利用三点共线求最小值 比如把点M 改为（3,1 ）
理论迁移— 空间几何 探究：
这也是直线上的动点与两定点距离和最小值问题， 是否能将空间问题转化为平面问题 ？
分析：
理论迁移— 空间几何
理论迁移— 空间几何
理论迁移— 空间几何 答案：
74变式：蚂蚁爬行问题
理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 探究：
如果把抛物线看成直线，就变成直线上的动点与同侧两定点距离和最小值问题， 如何将同侧关系转化为异侧关系 ？
理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 分析：
如图，利用抛物线定义，可以将焦半径|PF| 转化为|PH| ，故最小值为点 点M 到准线的距离 答案：4
理论迁移— 圆锥曲线 变式：
如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，过P 点作x=-1 的垂线段为PH, 点M(2,4),求 求|PM|+|PH| 的最小值 答案：
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