下面是小编为大家整理的第二章节习题答案,供大家参考。
习题二 2. 设随机变量 X 的分布函数为 ( ) F x ，用分布函数表示下列概率：
(1) { } p X a ;
(2) {| | } p X a ;
(3) { }. p a X b
解：（1）
{ } 1 { } 1 ( 0); p X a p X a F a
（2）{| | } { } { } { }( 0) ( );p X a p a X a p X a p X aF a F a （3）
{ } { } { } ( ) ( 0). p a X b p X b p X a F b F a
4. 同时掷 2 枚骰子，设 X 是两枚骰子出现的最小点数，求 X 的分布列.
解：X 可能取值为：1,2,3,4,5,6，所以
1 16 51 1 1 16 6 6 61 13 41 1 1 16 6 6 61 12 11 1 1 16 6 6 62 1 2 1 11 9{ 1} , { 2} ,36 362 1 2 1 7 5{ 3} , { 4} ,36 362 1 2 1 3 1{ 5} , { 6} ,36 36C Cp X p XC C C CC Cp X p XC C C CC Cp X p XC C C C 故，X 的分布列为：
.1
2
3
4
5
6
11 9 7 5 3 1
36 36 36 36 36 36 5. 有 3 个盒子，第一个盒子装有 1 个白球，4 个黑球；第二个盒子装有 2 个白球，3 个黑球；第三个盒子装有 3 个白球，2 个黑球.现任取一个盒子，从中任取 3 个球.以 X 表示所取到的白球数.
(1) 求 X 的概率分布列；
(2) 求 X 的分布函数；
(3) 取到的白球数不少于 2 个的概率是多少？
解：(1) X 可能取值为：0,1,2,3，结合全概率公式，得
3 33 43 35 51 2 1 2 1 22 3 3 2 1 43 3 35 5 52 1 2 12 3 3 23 35 51 1 1 5{ 0} 0 ,3 3 3 301 1 1 15{ 1} ,3 3 3 301 1 1 9{ 2} 0 ,3 3 3 305 15 9 1{ 3} 1 .30 30 30 30C Cp XC CC C C C C Cp XC C CC C C Cp XC Cp X 故，X 的分布列为：
0
1
2
3 ; 5 15 9 1
30 30 30 30 (2) 当 ( ,0) x 时,
( ) { } ( ) 0, F x p X x p
当 [0,1) x 时,
5( ) { } { 0} ,30F x p X x p X
当 [1,2) x 时,
( ) { } ({ 0} { 1})5 15 20
{ 0} { 1} ,30 30 30F x P X x P X XP X P X
当 [2,3) x 时,
( ) { } ({ 0} { 1} { 2})5 15 9 29
{ 0} { 1} { 2}30 30 30 30,F x P X x P X X XP X P X P X
当 [3, ) x 时,
( ) { } ({ 0} { 1} { 2} { 3})
{ 0} { 1} { 2} { 3} 1.F x P X x P X X X XP X P X P X P X
故 X 的分布函数为
0,
0,5,
0 1,3020 ( ) ,
1 2,3029 ,
23,30
1,
3;xxF x xxx (3) 取到的白球数不少于 2 个的概率是
{ 2} ({ 2} { 3})9 1 1
{ 2} { 3}30 30 3.P X P X XP X P X 8. 已知某型号电子元件的一级品率为 0.3，现从一大批元件中随机抽取 10 只，设 X 为 10 只电子元件中的一级品数.问最可能抽到的一级品数 k 是多少?并计算 p{X＝k}.
解：设随机变量 X 表示抽到的一级品数，所以 (10,0.3), X B
p{X＝k}710 0, .3 0.7
k kC
3 3 7103.3 ; 0 0.2668. ( 3) .3 0.7
[( 1) ] [ ] 3 p p X C n
9. 某商店出售某种商品，根据以往经验表明，月销售量(件)服从参数3 的泊松分布.问在月初进货时，需要多少库存量，才能有 99.6%的概率充分满足顾客的需要？
解：设随机变量 X 服从参数 3 的泊松分布. 设需要 N 件库存量，才能有 99.6%的概率充分满足顾客的需要，则
1{ } { } 1
=1-0.996=0.004
! = 1-kNep X N p X Nk
故 N=8.
12．盒子中装有 m 只白球，n 只黑球.从袋中有返回地随机摸球，直到摸到白球时停止. 求摸球次数的分布列.
解：设随机变量 X 表示首次摸到白球时摸球次数，所以( ) ( ), X G p Gmm n 1{ } ( ) ( ), 1,2, .
kn mp X k km n m n 13．一批产品共 100 件，其中有 97 件正品，3 件次品.每次随机抽取 1件，直到取到正品为止.就下列两种情况求抽取次数的分布列:
(1) 放回抽取；
(2) 不放回抽取.
解：（1）设随机变量 X 表示直到取到正品为止抽取次数，因为是放回抽取，所以( ) ( ),97100X G p G 则
13 97{ } , 1,2, ;100 100kp X k k （2）设随机变量 X 表示直到取到正品为止抽取次数，因为是不放回抽取，所以
97 3 97{ 1} , { 2} ;100 100 99p X p X
3 2 97 3 2 1 97 { 3} , { 4} .100 99 98 100 99 98 97p X p X
14．试确定下面连续型随机变量的分布函数中的待定系数 , a b .
(1) 2,
0,( )0,
0.xb ae xF xx
(2) ,
0,( ) ,
0< 2,1,
2.
xbe xF x a bx xx
解：(1) 由 lim ( ) 1xF x 得 1 b ，由 ( ) F x 在 0 x 连续，得 1 0 a ，于是 1 a ，则有
21 ,
0,( )0,
0.xe xF xx (2)由 ( ) F x 在 0, 2 x x 连续，得 , 2 1 b a a b ，于是1 1, .3 3a b ，则有
1,
0,31 1( ) ,
0< 2,3 31,
2.
xe xF x x xx
16. 设连续型随机变量 X 的密度函数
2,
| | 1,( )10,
| | 1.
axf xxx 求：(1) 系数 a ；(2)1{| | }2p X .
解：(1) 由12 1( ) 11af x dx dxx 得1a ，
（2）1212211 1{| | } .2 31p X dxx
17. 设 (1,6) Y U ，求方程21 0 x Yx 有实根的概率.
解：
(1,6) Y U ，因方程21 0 x Yx 有实根，所以24 0 Y .
随机变量 Y 的密度函数
1,
1 6,( ) 50,
6, 1.
xf xx x 故，2 21( 4 0) { 4} 1 { 2 2} 1 0.8.
5P Y p Y p Y
19. 某仪器安装了 3个独立工作的同型号的电子元件，其寿命 X(单位：小时)都服从同一指数分布，密度函数为
6001, 0,( )6000, ,xe xf x 其它 求：此仪器在最初使用的 200 小时内，至少有一个此种电子元件损坏的概率.
解：已知每个电子元件其寿命 X 都服从同一指数分布，密度函数为
6001, 0,( )6000, ,xe xf x 其它
设 A={每个电子元件寿命 X 在 200 小时内}，则
200 2006000 0131( ) {0 200} ( ) 1 ,600xp A p X f x dx e dx e
设 Y={3 个独立工作的同型号的电子元件，电子元件损坏的数量}，显然131 (3, ), e Y B 故至少有一个此种电子元件损坏的概率
1 10 0 33 33{ 1} 1 { 0} 1 (1 ) ( ) 0.632. p Y p Y C e e 21. 设2(1,2 ) X N .
求：(1) { 0} p X ；(2) {| 2| 1} p X ；(3)
确定 c 使得 { } { } p X c p X c .
解：（1）0 1{ 0} 1 { 0} 1 ( ) 1 (1 (0.5)) 0.6915,2p X p X
（2）3 1 1 1{| 2| 1} {1 3} ( ) ( ) 0.3413,2 2p X p X
(3)
确定 c 使得 { } { } p X c p X c ，则
1 1{ } 1 { } 1 ( ) { } ( )2 2c cp X c p X c p X c
故1 1 12 ( ) 1, ( ) , 1 0, 1.2 2 2c cc c
23. 某校抽样调查结果表明，考生的数学成绩 X(以百分制计)近似地服从2(72, ) N 的正态分布，已知 96 分以上的人数占总数的 2.3%,试求考生的成绩在 60 分至 84 分之间的概率.
解：考生的数学成绩 X(以百分制计)近似地服从2(72, ) N 的正态分布，已知 96 分以上的人数占总数的 2.3%,故96 72{ 96} 1 { 96} 1 ( ) 0.023,24 24( ) 0.977, 1.99, 12.p X p X 考生的成绩在 60 分至 84 分之间的概率为
84 72 60 72{60 84} ( ) ( ) 0.6826.12 12p X
24．设随机变量 X 的分布函数
0,
2,0.3,
2 1,( )0.9,
1 2,1,
2.
xxF xxx 求随机变量 2 1 Y X 和2Z X 的分布列．
解：随机变量 X 的分布函数，得 X 的分布列：
-2
-1
2
; 0.3
0.6
0.1 因为 2 1 Y X ，Y 的取值为-3，-1,5，得 Y 的分布列：
3
-1
5;0.3
0.6
0.1Y 因为2Z X ，Z 的取值为 1,4，得 Z 的分布列：
1
4
.
0.6
0.4Z
26. 设 (0,1) X U ，求以下随机变量的概率密度函数：
(1) ln Y X ； (2) XY e ；(3) 2Y X ．
解：设 (0,1) X U ，X 的概率密度为
1, 0 1,( )0, .Xxf x 其它 （1）由于 , 0, ( ) 0; 0, lnYY y F y y X
( ) { } {ln }YF y p Y y p X y
{ } ( ),y yXp X e F e
两边对 y 求导，得 Y=lnX 的概率密度
( ) ( )
,
0.0,
0 ,Y Yyf y F yyye
(2) 由于XY e ,
( ) , ( ) 0,(0 1),xy g x e g x x
1( ) ln , ( ) , x h y y h yy
(0) 1, (1) , 1, , g g e e
由公式得
1(ln )| |, 1 ,( )
0, (1, ),1, 1 ,=
0, (1, ),XYf y y ey f yy ey eyy e (3) 由于20, 0 ( ) 0; 0YY X y F y y 故当 时， 故当 时，有
2( ) { } { }YF y p Y y p X y
{ } ( )yXyp y X y f x dx
两边对 y 求导，得 Y=X 2 的概率密度
( ) ( ) ( )yY Y Xyf y F y f x dx
1, 0,20, 0.yyy
